23 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 195 



P8-7V. " Il luogo di un punto equidistante da due punti dati a e b l'un l'altro 

 " distinti, e per di più giacente in un piano dato che passi per quelli è una 

 " retta: anzi è la retta normale ad ab nel punto medio di a e b. „ [Così da 

 P20, 21, 25, 26, 27, 31 § 2 ; P6, 7, ecc.] 



P9-IV. " Se a, b, e sono punti allineati e distinti, e ti sia un punto arbitrario, ogni 

 " punto comune a due delle sfere d a ,d b ,d c giacerà in tutte e tre. „ [Se deab, 

 si ritorna a PI 6 § 2. — Se d ~ eab, sia p. e. x un punto comune alle sfere d a e d b , 

 ma diverso da d (che giace, come si sa, in tutte e tre). Ora, se xtabd si 

 ricade in P23 § 2. Se al contrario x ~ (.abd, ribalteremo il piano abx sul piano abd 

 tenendo i punti a e b come cardini (P4); per la qual cosa ognuna delle due 

 sfere x a edx b , che non differiscon dalle d a ,d b , si converte in se stessa; e il 

 punto x cade in d, ovvero in quel punto d' diverso da d, ma come d apparte- 

 nente ad ambo i cerchi d a e d b (P13, 14 § 2). Se non cade in d, basterà far 

 seguire un ribaltamento del piano abd' sopra se stesso intorno ad a e b, per 

 poter dire ch'è sempre possibile un moto il quale porti x in d senza toccare a 

 né b. Dunque xed e , perché un tal moto lascia fermo anche e (P15, 28 § 1). Ecc.] 



PIO- Tr. " Ogni volta che, a, b, e sendo punti non collineari, d sia un punto del 

 " piano abe, le sfere d a , d b e d c non s'incontrano altrove che in d. „ [Si può sup- 

 porre ad es. che d appartenga alla congiungente a con x, chiamando x un punto 

 della bc diverso da « e da 6 (P20, 28 §1): cosicché d b <^ d c Qd x (P9), e però anche 

 d a n d x <~> d c {jd a <-> d x . Ma la figura d a r>d x è tutta quanta in d(P16§2): dunque 

 anche l'altra <2„ ° i n d c .] 



P11-2V. " Ma, preso un punto e qual si voglia, ogni punto comune alle sfere e a , e b , e e 

 " giace ancor sulla sfera e d . „ [Se d cade in una delle congiungenti bc,ca,ab, 

 p. es. in ab (a parte il caso che esso coincida con a o con b) per concluder che 

 e a r> e b <->e e ^)e d basta allegar (f;0P9. Se no, basterà il ricordar che le rette ad e bc, 

 ovver le bd e ca, o le ed e ab necessariam. 6 s'incontrano (P20§1): cosicché, se 

 p. es. d'tad^bc, sarà vero ad un tempo — data la stessa P9 — che e a <-> ed'()e d , 

 ei^e.Qed'] e quindi che e a n e b n e c Qe d .] 



P12-2V. " Siano a, b, e punti non collineari, d un punto del piano abe (non però 

 " coincidente con a); poscia p un punto fuori del piano. Se avvien che ciascuna 

 " delle ab, ac sia perpendicolare alla congiungente a con p, questa sarà eziandio 

 perpendicolare alla ad. „ Euclide, Lib. 11°, Prp. IV a . — Ovvero: " se alle due 

 rette distinte ab,ac, che s'incontrano in a , sia ordinata una terza retta pa nor- 

 male a tutte due in questo punto, essa retta pa risulta eziandio perpendicolare 

 a qualunque retta che giaccia sul piano di quelle, e passi dal loro punto comune „ 

 Ved. P27 § 2. [Il punto p /„ della sfera p a , (P3 § 2), dovendo stare così nella sfera p b , 

 come nella p c (P20 § 2) — atteso che, per Hp, (a, p) j. (a, b), (a, p) j. {a, e) (P27 § 2) 

 — giace ancor sulla sfera j^ (Pll): sicché resta (a,p) -l (a, d) (P21 § 2).] 



P13-D/". " Nell'istessa HpP12, la retta pa, perpendicolare a tutte le rette del piano 

 " abe che passan dal punto a, è per chiamarsi " ortogonale, normale, o 

 " perpendicolare al piano abe „ — (ap ± abe) — ; e questo a sua volta " nor- 

 " male o perpendicolare alla rettala „ — {abe x ap) — „. In somma " si defi- 



