25 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 197 



da un punto esterno due rette perpendicolari a un medesimo piano „. Euclide, 

 Lib. II , Prp. XIH a . [Invero le ad, bd sarebbero in quell'Hp ambedue perpendico- 

 lari ad ab (P12, 13), contro P29 § 2.] 



P18-2V. " Ad un piano o" e per un punto a di questo si può sempre elevare 

 ■ una retta perpendicolare. „ Euclide, Lib. 11°, Prp. XII a . [Sia b un punto di o", 

 non coincidente con a. Non si può negar l'esistenza di punti distinti in un piano ; 

 dacché p. es. il giudizio (P20 § 1) " o" è un piano „ non differisce dall'altro : 

 " esiston tre punti non collineari x,y,z, e 0" è un nome dato al piano xyz 

 (Ct'r. P18 § 1) — Per certo esiste anche un punto non giacente in o" (pstl. XV ), 

 e p. cons. anche un piano t, diverso da 0", e contenente la retta ab al par di 0". 

 In un tal piano t si conduca la retta ad perpendicolare ad ab (P6) ; e poi simil- 

 mente in un piano contenente ad, ma diverso da t, conducasi ac perpendicolare 

 ad ad : cosicché quest'ultima ad sarà ortogonale ad ambo le rette ab, ac. Se 

 dunque ribalteremo il piano abc sopra o" (P4) intorno i punti a, b come cardini, 

 dopo di che saranno p. es. e' e d' le posizioni dei punti e e d, la retta ad' risul- 

 terà perpendicolare in un tempo alle ab, ac', tutte due giacenti in 0". Ved. P34 

 §2 e PI 3.] 



P19-2V. " Se a, b sono punti non coincidenti, ogni retta che passi pel centro a della 

 " sfera di b intorno ad a, la incontra in due punti distinti. „ [Preso un punto 

 e che non appartenga alla congiungente a con b (P16 § 1), si può sempre asse- 

 gnare fuor del piano abc un punto d per modo che la congiungente a con d 

 sia normale ad ambo le rette ab, ac (P1S). Allora quel moto, che applica il 

 piano adb sul piano ade mantenendo in posto a e d (pst. XVI ), condurrà b in 

 qualche punto della congiungente a con e (P31,34§2) senza distrarlo dalla 

 sfera 5 a (P28-30 § 1); sicché questa deve incontrarsi con quella. Il resto è già 

 detto in Pl,2 § 2.] 



P20-Df. " Dir che i punti a e b sian l'un l'altro " simmetrici rispetto a una 

 " retta r — rispetto ad un piano a „ sarà come asserir che quei punti 

 " stiano insieme sopra una retta che incontri perpendicolarmente la retta r 

 " — il piano o" — nel punto medio di (a, b). „ — 'Per mezzo d'una retta r, 

 di un piano a, resta dunque assegnata una certa rappresentazione 

 dei punti in punti (dello spazio in sé stesso), la quale a ciascun punto x di r, 

 o di a, coordina lo stesso punto, vale a dire il simmetrico di x rispetto ad 

 x (P3 § 2), e ad un punto qualunque y che non giaccia in r, né in a, coordina 

 il punto simmetrico rispetto al piede della normale calata da y su r, su 

 a (P28, 29 § 2 e P16, 17). Detta trasformazione corrispondenza geome- 

 trica è per chiamarsi, conforme all'uso, " simmetria assiale rispetto ad r „ 

 nell'un caso, e " simmetria planare rispetto a 0" „ nell'altro; ma le con- 

 vengono ancora i nomi di " semigiro ribaltamento intorno ad r „ — 

 e di " specchiamento su o" „, L'omologo di un punto z si potrà distinguer 

 coi segni s / r , o*/ e . 



Una simmetria planare non può certo equivalere ad un moto, dal momento 

 che tutti i punti d'un certo piano a (e non tutti i punti ch'esistono) vi son tau- 



