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tologlii (1*1 1, 20 § 1 e PI): Laddove al contrario qualunque simmetria assiale 

 non si distingue da un certo moto; come apparisce dalla seguente: 



V21-Tr. " Dati i punti non collineari a,b,o\ se un moto u, non alterando a né S, 

 " trasformi e nel simmetrico rispetto alla congiungente a con b, lo stesso 

 " moto dovrà cangiare eziandio qualunque altro punto z nel suo simmetrico Voi- 

 " E un moto sì fatto esiste realmente. Ved, I'-". , | Invero l'operazione u* sarà 

 un moto che tien fermi individualmente o, b, e (P5, - ( », 22, 24 § 1 ; l'I 7 S -, acc), 

 dunque fermo ogni punto (PI 1 § 1). Pertanto, se z' = nz, i punti z e z' son 

 commutati fra loro da u ; sicché il lor punto medio x = z .z' dovrà esser tau- 

 tologo (P5-7 § 2, ecc.) e quindi giacere in ab, dal momento che u per Hp è moto 

 proprio. Si conclude che 03 = «' = s;, oppure xz x ab (P19, 27 § 2, ecc.): e cos'i 

 da ogni caso z = 'l ai . — Il moto u non è altro che il ribaltamento del piano abe 

 su se stesso intorno a e b come cardini (Pll § 2, ecc.] 



P22-7V. " Sempre che a, b, e siano punti non collineari, e p, q punti non del piano abe, 

 " né allineati con a, sarà impossibil che tanto ap, quanto aq, siano rette normali 

 " al piano abe. „ Euclide, Lib. 11°, Prp. XIII a . [Si può conceder che ac sia per- 

 pendic. ad ab. Proveremo che dall'ipotesi " ciascuna delle ap, aq sia perpendic. 

 a ciascuna delle ab,ac„ si deduce l'assurdo. Posto b' = */<u e' = 'j a , p' = p / a , 

 q' = 9 l a , si effettui quel moto che ribalta il piano abe su se stesso intorno ad a 

 e b come cardini: ne usciranno scambiati fra loro i punti e e e', per cons. anche 

 p e p' (P21) e in pari tempo anche a e a 1 ; atteso che quell'ipotesi involge p' = p / ab , 

 q' = '/a* (P20) ; ma il punto b starà in quiete. Appresso facciasi un nuovo ribal- 

 tamento del piano abe su se stesso, ma questa volta intorno ad a e e come car- 

 dini: si scamberanno di nuovo l'un l'altro i punti p e p' e nel medesimo tempo 

 anche q e q'; nel mentre che b andrà in V . Sicché, in conclusione, il moto risul- 

 tante o prodotto dei due ribaltamenti (delle due simmetrie, luna rispetto 

 ad ab, l'altra rispetto ad ac) lascerebbe invariato ciascuno de' punti a, p, q, nel 

 mentre che porterebbe b in V : la qual cosa, per esser b - = b', contraddice all'Hp 

 che a,p,q non collimino (Pll § 1). 



Il fatto che " non si possan condurre due distinte perpendicolari ad un piano da 

 un medesimo punto di questo „ (P22) viene ad escluder la possibilità d'una quarta 

 dimensione in TT; secondo il comun significato inerente alle dimensioni di un 

 corpo. Fra i pstl. 1 ammessi fin qui, sembra esser l'VIII quel più pesa in tal 

 conclusione. Ma non mancherebber motivi per arguire, qualmente l'VIII pstl. 

 di per se solo (o meglio insieme con gli antecedenti I-VII) imponga alla classe 

 dei punti una tal restrizione, da poter dire che lo spazio non ha più che tre . 

 dimensioni. — Se tutto ciò disconvenga, oppur sia vantaggioso a un sistema 

 di Geom. a elementare, decida il Lettore. Chi voglia per altro una Geometria 

 quarto dimensionale senza troppo scostarsi di qui, potrà cominciar per es. 

 dal sostituire alle definizioni di punti collineari e di retta (P9, 12 § 1) due 

 simili definizioni dei punti complanari e del piano; e al VIP e VHI prin- 

 cipio due simili propos. 1 in tre o quattro punti rispettiv. 6 : ma qui non è 

 luogo a maggiori specificazioni. 



