27 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 199 



P23-1V. " Siano a, b, e punti non collineari, poscia d, e punti esterni al piano abe, 

 " se le rette ac, ad, ae son tutte e tre perpendicolari alla congiungente a con b, 

 " dovranno giacer tutte e tre in un medesimo piano. „ Euclide, Lib. 11, Prp. V a . 

 Cioè " non coesiston due piani distinti, perpendicolari a una medesima retta 

 in un medesimo punto. Ved. P13 „. [Nei due piani acd,ace, l'uno e l'altro per- 

 pendicol. ad ab per Hp, conduciamo rispettivamente le rette ad', ae' perpendi- 

 colari ad ac (P6). Queste rette cadranno eziandio normalmente sopra la ab (P12); 

 dunque saranno ambedue perpendicolari al piano abe, dunque coincideranno 

 (P22) ; e con esse coincideranno anche i piani aed', ace' (P23 § 1), che non si 

 distinguon dai primi aed, ace (P24 § 1).] 



E dal momento che un solo piano contiene tutte quante le rette perpendico- 

 lari alla data in un dato punto di questa, si può parlare del " piano normale „ 

 alla retta in quel punto come di un solo individuo singolarmente distinto: 

 al modo stesso che dopo i Tr. 16-18 e 22 le frasi quali ad es.. "retta normale 

 al piano o" nel punto a di questo „ — o " dal punto esterno p „ , acquistan valore 

 di nome proprio, che altrimenti non riterrebbero. 



P24-2V. " Due piani non coincidenti, che abbiano un punto in comune, s'incontrano 

 " lungo una retta. „ [Siano r, s le rette perpendicolari a quei piani p e o" nel 

 punto a supposto comune ai medesimi (P18); le quali non potranno al certo 

 confondersi in una, finché non coincidono i piani (P23). La retta t, perpendico- 

 lare ad ambo le rette r, s nel punto a (P18), giacerà simultaneamente nei piani 

 p e o- (P23).] 



Nella più parte de' moderni trattati questo teorema si prova, insieme con altri 

 non meno fondamentali, per via di premesse circa le parti in cui la retta si 

 afferma divisa da un suo punto qualunque, o il piano di una sua retta, o lo 

 spazio da un piano. Tralascio delle difficoltà che s'incontrano a voler definire 

 esattamente questi concetti pertinenti all'Ànalysis situs (ved. il § seguente); ma 

 non so trattenermi dal domandare, se non sia miglior patto evitarli, quando si 

 può (come qui) senza sforzo (introducendo anzi spesso chiarezza e semplicità 

 dove non di rado si trovano oscurità e complicazione) ; e ogni qual volta, anzi 

 che necessari, appariscan più che altro stranieri agli uffici della Geometria 

 elementare (*). 



P25-2V. " Il luogo di un punto equidistante da due punti dati a e b non coin- 

 " cidenti fra loro, sarà il piano normale alla congiungente a con b nel punto 

 " medio di a e b. „ [Così da P7, 8, 23, ecc.] 



P26-2V. " Essendo a, b, e punti non collineari, le sfere c a e c b s'incontreranno in tutti 

 " i punti d'un cerchio, il cui centro ènei piede della perpendicolare abbas- 

 " sata da e sulla ab, e il cui piano è normale in questo punto ad ab. Ved. P13 § 2. „ 

 [Sia d quel punto di ab, per cui ed .l ab (P28, 29 § 2); ed e un punto esterno al 

 piano abe, tale ancora che de ± ab (PI, 6, ecc.): sicché ede sarà il piano che può 

 condursi dal punto e, o nel punto d, normalmente ad ab. Se si ribalta il piano 



(*) Ved. Peano, " Sui fondami della Geom? „ loo. oit., pag. 51-54. 



