29 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 201 



(P7 § 2), condurremo nei piani abd,acd le rette op, oq perpendicolari ad ad; ei 

 punti p e q li supporremo equidistanti da o, prendendo ad es. q sulla sfera p a 

 (P19). Dopo ciò, fatto m=p\q, la simmetria rispetto all'asse mo (P20), che 

 non si distingue dal ribaltamento del piano opq su se stesso intorno i punti m, o 

 come cardini (P21, ecc.), permuterà l'un coll'altro i punti a e b, nel modo stesso 

 che i piani abd,acd; e l'una con l'altra eziandio le rette ab, df, come ancora 

 le ac, de. Dunque la coppia (ab, ac) si converte nella (df, de) ; e se si vuole nella 

 (de, df), con l'aggiunta di un rovesciamento come quello teste adoperato a 

 scambiar le rette op, oq fra loro. Ecc.] 



P31-2V. " Dato che a, b, e siano punti non collineari, ed e, f punti esterni al piano abe 

 " per modo, che le ae, bf sian perpendicolari a quel piano, bisognerà che i quattro 

 " punti a,b,e,f sian complanari. „ Euclide, Lib. 11°, Prp. VI a [Invero, se nel 

 piano abe si conduce la retta bf e nel piano aie le ad, bd', tutte e tre perpen- 

 dicolari ad ab, ne usciranno le coppie (ad, ae), (bd', bf) congruenti fra loro (P30). 

 Di qui nasce che bf _l bd' (P34 § 2), dal momento che ae a. ad per Hp (P12, 13). 

 Dunque la bf è normale al piano abe, e p. e. bf = bf(P22): e. v. d.] 



P32-2V. " Due terne di punti (a, b, c),(d,e,f) sono congrue fra loro, se tali siano 

 " ad un tempo le coppie (a, b) con (d, e), (b, e) con (e,f), (a, e) con (d, f). „ 

 [Suppongo dapprima a, b, e non collineari. Perché (a, b) Y (d, e), deve esistere un 

 moto u (Ìli), giusta P28; e se c'~\xc, bisognerà che (d, e, e') ~ CI. Or dal sup- 

 posto (a,c))L(d,f) nascerà che (d, e') Y (d, f ) ; dunque e'ef d , e per egual modo 

 c'ef. Sicché, ribaltando il piano dee', intorno i punti d, e, sopra un piano p con- 

 tenente i punti d, e, f, il punto e' cadrà in uno dei punti comuni ai due cerchi 

 fd,f,: quindi (P14 § 2) o cadrà in f senz'altro, o verrà in coincidenza con /"dopo 

 il ribaltamento di p su sé stesso intorno ai punti d, e. — Resta il supporre che 

 (a, è, e) CI, ma si lascia al Lettore.] 



§ 4°. 



Punti interni od esterni a una sfera. Segmenti, raggi, 

 semipiani, angoli, ecc. 



Pl-Df. " Qualunque siano i punti a e b, questo segno " Sfr (a, b) „ denota la sfera 

 " di a o di b, circumstante al punto medio di (a, b) come centro: " Sfr (a, b) „ 

 "=«(„,!,)= b (alb} = " Sfr (b, a) „. Ved. P28, 30 § 1 ; P7 § 2. — Nel discorso la chia- 

 " meremo tal volta " sfera polare — o polosfera — di a, b „; tal altra " sfera 

 " normale alla coppia a, b „: e i punti a e b si noteranno eziandio come "poli „ 

 " di essa sfera, o come punti diametralmente opposti. „ — Se i punti a e b 

 coincidono, la " Sfr (a, b) ,, si restringe in un punto. 



P2-Z>/\ " Sempre che a e b siano punti, diremo che " x è punto interno alla sfera b a ,, 

 " quando esiston su questa due punti non coincidenti, i quali abbian x per punto 

 " medio. E si dirà che " z sia punto esterno alla sfera b a „ se in questa non 

 " esiston due punti, neppur coincidenti, di cui il punto medio sia z. „ 



Setito TI. Toh. XLIX. a' 



