31 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 203 



alla sfera b a , il segmento rettilineo | ab | , son covarianti di a e b rispetto a 

 ogni moto ; e tutte hanno ufficio principalissimo in Geom. a elementare. La nozione 

 di " retta terminata o segmento „, che si suole introdurre generalmente in qua- 

 lità di ente geometrico semplice o primitivo, vien qui decomposta nei con- 

 cetti elementari di punto e di moto, e rifatta di questi soli, con successive 

 definizioni meramente nominali (*). Fors' anche l'uso di questa nozione è 

 soverchio nei trattati ordinari, e si potrà ridurre a minor proporzione; come 

 apparisce dal contenuto dei preced.' §§ 1, 2, 3, che ne sono al tutto indipendenti. 



POSTULATO XVII . 



P8. Essendo a, b, e punti allineati e distinti, se un piano perpendicolare alla 

 retta in un punto diverso dagli a, b, e incontra una delle tre sfere polari 

 alle coppie (a, b), (a, e), (b, e), dovrà incontrarne anche un'altra. Ved. P. 1. — 

 Ovvero, che in somma è lo stesso (P7, ecc.): " dati quattro punti a,b,c,d col- 

 lineari e distinti, non sarà mai che d giaccia in un solo dei tre segmenti 

 \ab\, \ac\, \bc\ „. 



POSTULATO XVIII . 



P9. Se a, b, e sono punti, e e giaccia fra a e b, nessun punto può giacere ad 

 un tempo fra a e e e fra b e e. Ved. P6. — Dunque " in tale Hp un piano 

 perpendicolare alla retta non può incontrar simultaneamente fuori di essa le 

 due polosfere di a , e e di b, e „ . 



P10-2V. " Se i punti a, b, e sono tali, che e stia nel segmento ] ab \ , tutto il segmento 

 " \ac\, e nel modo stesso \bc\, sarà contenuto in \ab\; e ogni punto interno ad 

 " | ac |, o a | bc |, sarà interno ad \ab\. Ved. P7. „ [Se a == b, non occorron parole: 

 poniamo che a e b non coincidano. Allora ciascun punto di \ac\ distinto da a 

 e da e sarà interno all'uno od all'altro segmento [ab\, \bc\ (P8). Ma non può 

 essere interno a | bc | (P9) : dunque è interno ad \ab\. Ecc.] 



P11-2V. ^ Sotto la stessa HpPlO, non potrà darsi che b, giaccia fra a e e, né che a 

 " giaccia fra beo.,, [Il supporre a — b; oppure a ~ = b, ma e coincidente con a 



con b, si rimette al Lettore. — Se a, è sono punti distinti, e e interno ad 



1 ab I ; allora, perché b giacesse fra i punti a e e, bisognerebbe che ogni punto 

 interno ad \ab\ fosse anche interno ad | ac | (PIO) ; laddove e non è certamente 

 interno ad | ac I (P6, 7).] 



(*) Contro la nostra definizion del segmento (P6-7) si potrà forse opporre, che sia men semplice 

 di quanto vogliam definire. Tralascio che il criterio di detta semplicità non fu mai stabilito a priori: 

 anzi concedo sin la giustezza e bontà di quell'osservazione ; ma rispondo in questa maniera. Si scopre 

 ad es. che un certo assioma (e) sia conseguenza di certe altre proposiz.' (a) e (6), del pari ammesse 

 e riconosciute per primitive. Chi vorrà sostenere che non sia da rimuovere la propos." (e) dagli 

 assiomi, sol perchè la sua deduzione a spese di (a) e di (b) possa dirsi men semplice di quanto si 

 vuol dimostrare? — Eppure il proposito di definire un oggetto mediante altri oggetti, e quello 

 di dedurre un fatto da certi altri fatti, non son cose tanto remote fra loro e dissimili, che al- 

 l'una si debban negar senza più quei diritti, che non si contestano all'altra. 



