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P18-2V, " E, in detta llp, si ai compone di tutti quei punti clic spettano indi- 

 " stintamente ad \ac\ o a ,òi\; e di questi soltanto. , [Invero, se a,b,c son 

 distinti, tolgasi un punto x fra (/ o l>. Allora il piano perpendicolare in x ad ab 

 dovrà incontrare l'una o l'altra delle due sfere polari di (»,'] o (/;,'•) II'-): i-d 

 x giacere per cons." in uno almeno dei due segmenti \ ac e /«• (l'7). Il resto 

 è già detto in PIO]. 



P13-7V. u Purché a, è siano punti, le sfere di b centro a, e di a centro b s" incon- 

 " trano. „ Ofr. Euclide, Lib. 1°, Prp. l n [Si può conceder che a e b non coinci- 

 dano; perché intorno ad a = b non c'è nulla da dire. Posto m = a \ b, e a' = %, 

 sarem certi che mt\ab\, ie|aa' (PC); e p. cons." che un aa' (PIO), anzi m 

 intorno a questo segmento. Dunque il piano ortogonale in m alla retta incontra 

 in qualche punto diverso da m la polosfera di «, a' (P7), cioè la sfera a b . Sia x 

 un tal punto d'incontro; ondo mx x ab (P12, 13 § 3). Se or si ribalta il piano abx 

 su sé stesso girando sui punti m, x, ne usciranno scambiati l'un l'altro i punti 

 a e b, e permutate le sfere a b e b a ; cosicché il punto x che non muta dovrà 

 stare eziandio su b a .] — Quest' è insomma la prova, ch'esiste un triangolo 

 equilatero avente un dato segmento \ab\ come lato: ved. P14§5, ecc. 



P14-7V. " Dal supporre a, b, e punti non collineari, ed (a, e) ± (a, b) si deduce che a 

 " sarà interno alla sfera c b , e e esterno alla sfera a b . „ [Che a sia punto interno 

 a c h segue tosto dalla P20 § 2 e P2. — La sfera c b e la congiungente a con b 

 s'incontreranno in punti d e d' distinti fra loro e dal punto a (P19 § 3, ecc.): sia 

 poscia a' = a l b . Per la seconda parte del Tr. basta provare che d o d' sia esterno 

 al segmento I aa' | ; atteso che d si converte in e per un movimento che non 

 altera affatto a b . Ora i punti a e a', come interni a d b , giacciono entrambi fra 

 d e d' (P6) : sicché non può darsi che d giaccia fra a e d', né che d' fra a e d 

 (Pll). D'altra parte a' deve trovarsi in uno dei due segmenti \ad\,\ ad' | (P12). 

 Dunque, se a' e | ad' | e p. cons. | aa' | Q | ad \ (PIO), non potrà esser che d appar- 

 tenga al segmento I aa' I , dal momento che (sendo esso diverso dai punti a e d') 

 non può cader fra a e d'. Né allorquando a' e | ad |, quindi I aa' | o | ad |, potrà 

 esser che d' appartenga ad | aa' | , il che sarebbe come voler d' giacente fra 

 a e d. Ecc.]. 



Di qui come corollario quasi immediato : " Una retta tangente la sfera a h — 

 ossia che incontri la sfera in un punto, p. es. «, senza incontrarla in due punti 

 staccati (ved. P22, 30 § 2) — non può contenere alcun punto interno alla sfera; 

 anzi tutti i suoi punti saranno esterni, eccezion fatta di un solo (punto di 

 contatto) „. — Anche il Tr.:-" Nell'HpPlé, il segmento \ba\ perpendicolare 

 ad | ac | sarà sempre minor dell'obliquo \bc\ „ si può aver come dimostrato 

 senz'altro in P14 ; dove si anticipi qui la defìnizion di minore e maggiore (ved. § 5). 

 Da P14 si dedurrebbe eziandio che " Se a,b,c sono punti ed a interno a c b , 

 sarà e esterno ad a b „ [Se a,b,c son distinti, esiste (P2) sopra c b un qualche 

 punto e' diverso da a, per modo che (a, e') j. (a, b) ; questo punto sarà esterno 

 ad a b (P14) , e p. cons. anche e (P4).] — Ma questa sorta di proprietà sembra 

 meglio posporle alla relazion di minore o maggiore, da cui procedono in modo 

 più liscio e spedito. 



