33 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 205 



P15-2V. "Da a , b e TT e e, d e | ab \ si deduce | ed | q | ab \ . „ [Per certo che d e | ac | , o 

 che rfe | èc ] (P12). Nell'un caso j ed | Q | ac | , nell' altro | ed | | bc |; e in tutti e 

 due \cd\o\ab\ (PIO).] 



P16-IV. " Dal supporre a, b e Ti, e e | ab \ , d e I ac | nasce sempre che e e\bd\. „ [Se 

 fosse a 1 coincidente con a o con e, basterebbe la definiz. di segmento (P7, ecc.). 

 — Nessun dubbio che d sia sempre un punto di |«è|(P10): e però e dovrà 

 appartenere all'uno od all'altro segmento \ad\, \bd\, se non ad entrambi (P12). 

 Ma e non può stare fra a e d per Hp (e in grazia a Pll): dunque, ove e sia 

 diverso da questi due punti, dovrà cadere in I bd I . Ora in effetto — purché d 

 non coincida con a o con e, come dee supporsi — sarà e ancora diverso da a; 

 perché altrimenti d non potrebbe appartenere ad Iracl.] 



POSTULATO XIX". 



P17. Dati i punti non collineari a,b,c; qualunque volta una retta giacente 

 sul piano abe passi fra a e b — vale a dire incontri la congiungente a con b 

 fra questi due punti — dovrà inoltre passare fra i punti a e e, o fra i 

 punti è e e; se però non contiene alcuno degli a, b, e. — Così anche il 

 Pasch nel IV Grundsatz circa la " superficie piana „ (op. cit., pag. 21). — Sotto 

 forma più ristretta e più liscia: " nel piano dei punti non collineari a, b, e non 

 esiste una retta che incontri uno solo dei tre segmenti | ab I , \ac\, \ bc | „ (*). 



P18-7V. " Se a, b, e sono punti allineati, una delle tre cose è vera: " o che e spetta 

 "ad | ab \ , o che b spetta ad I ac ! , o che a spetta a \bc\ . „ [Tratteremo il caso 

 che a, b, e sian distinti ; mostrando che da e ~ e I ab I e b ~ e I ac I si deduce che 

 az\bc\. Siano d un punto fuor della retta (P16 § 1), e un punto giacente fra 

 b e d, p. es. il punto medio di questi (P6). La retta ce passa fra b e d, non 

 però fra a e b; dunque passerà fra d ed a (PI 7); tagliando per es. in f il seg- 

 mento | ad | . Poscia che f giace fra a e d, laddove b non giace fra d ed e (Pll), 

 la retta bf dee passar fra a ed e (P17); tagliando p. es. in g il segmento \ae\. 

 E perché g sta fra a ed e, non però è fra a e e, il punto f dovrà cader fra e 

 ed e (PI 7). Infine la stessa PI 7, in ordine ai punti e, b, e ed alla retta da fa 

 vedere, che il punto a dee giacer /ra b e e: e. v. d.] 



P19- Tr. " Se un punto d giace fra i punti a e b e fra i punti a e e, non potrà star 

 " fra b e e. „ [Emerge che tanto a, b, quanto a, e, son distinti ; e che la tesi è 

 verificata da b = e (P6). Poniamo dunque b diverso da e. Ora, se e cade fra a 

 e b, o b fra a e e, n'esce ancor soddisfatta la tesi ; perché nessun punto potrà 

 giacere ad un tempo fra a e e e fra b e e nell'un caso, fra a e b e fra b e e 

 nell'altro (P9). Resta che si supponga a fra b e e (P18), dal momento che i 

 punti a, b, e son distinti; ma ce lo vieta il saper che d stia nel medesimo tempo 

 fra b ed. a, e ed a (P9).] 



P20-2V. " Essendo a, b, e punti collineari e distinti, qualunque punto d che sia 

 " esterno ad \ab\, ma interno a \bc\, sarà interno ad \ac\. „ [Delle tre 



(*) Sol che ponessimo a, b, e punti " distinti „ in luogo di " non collineari „ , resterebbe affer- 

 mato senz'altro il principio XVII. 



