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ipot' i (l'l-j et ab\, bt ao , a e bc , la prima ò da escluder senz'altro, perché 

 darebbe | ba ' Q I ai I (PIO), e però del ai', contro il .supposto. La seconda fa 

 esser | bc I contenuto in iacl(l'ln), quindi vera La tesi, dal momento che «Zelici, 

 né i-oincide con b o con e. L'ultima involge che | bc I sia la somma logica dei 

 segmenti \ab\ ed I ne I (FI 2); ossia che I 4c I ~ ! a/> ' = | ac | : dunque ancor qui 

 si deduce che d e I ac I . Ecc. ] 



Come in PI 7, cosi anche nelle seguonti P21-24 ci sarà facile scorgere delle 

 notissime proprietà del triangolo relative al contorno. 



P21-7V. " So a, b, e sono punti non collineari, nessuna retta del piano abe può pas- 

 " sare al medesimo tempo fra b e e, fra e ed a e fra « e b. „ — Ovvero: " tre 

 punti a', V, e', situati rispettiva fra b e e, e ed a, a e b non saranno mai colli- 

 neari „. [Ved. Pasch, loc. cit., pag. 25. Se il punto a' potesse giacer fra b' e e', 

 la retta bc dovrebbe passare fra V ed a, o fra e' ed a (P17); quindi e giacere 

 fra b' ed a, o b fra e' ed a: contro Pll. Per egual modo si prova che né b' 

 giace fra a' e e', né e' fra a' e V ; dunque i punti a', b', e' non sono al certo 

 collineari (PI 8).] 



P22-ZV. " Se i punti a, è, e non collimano, e siano presi i punti a' e b' nei segmenti 

 " I bc | e | ca I , dovrà esistere un punto comune ai segmenti \aa' \ e I bb' I . „ [Sup- 

 pongo a' diverso da b e da e, e 6' diverso da e e da «. Il pstl. XIX , allegato 

 in ordine ai punti b,c,b', ed alla retta aa', ne fa sicuri (atteso anche a Pll) 

 che questa retta taglia il segmento I bb' I in un punto. Egualmente la retta bb' 

 dovrà tagliare il segmento J aa' \ in un punto. Ma questi due punti coincide- 

 ranno per certo, l'uno e l'altro essendo comune ad ambo le rette aa' e bb' che 

 non posson coincidere (P17 § 1, ecc.).] 



P23-1V. " Dati i punti non collineari a, b, e, e dato un punto d nel piano abe, non 

 " però in una delle ab, bc, ca, bisognerà che la retta da passi fra i punti b e e, 

 " oppur la db fra e ed a, o la ed fra a e b. „ [Si sa per df. del piano abe (P20 

 § 1) che una delle tre coppie di rette ad e bc, bd e ca, ed e ab deve avere un 

 punto di concorso. Possiamo dunque supporre ad es., che ed s'incontri con ab 

 nel punto d'. Allor su d' si potranno far queste ipotesi : d' e | ab I , b e | ad' \ , 

 «€|è^'| (P18). Se d'c\ab\, la retta ed passa fra i punti a e b. Se bt\ad'\ nel 

 mentre che dei ed' \, la retta ad passa fra è e e, giusta (l')P17 e Pll; se b€\ad'\, 

 ma d~e\cd'\, la bd passa fra a e e, per lo stesso motivo (f)P17. Infine se 

 a e | bd' | , tutto andrà come dianzi, salvo lo scambio dei punti a e b fra loro.] 



P24-2V. " Ma se ad passerà fra è e e, e bd fra e ed a, la rimanente ed passerà 

 " fra a e b. „ [Se le rette ad t bd taglieranno in a' e V i segmenti I èc | e j ca \ , il 

 punto d sarà interno al segmento |a«'l(P22); nel mentre che e sarà esterno a 

 lèa'l(Pll). Di qui la tesi, in forza di C')P17.] 



Si riportano qui le definizioni di prolungamento a destra o a sinistra di un 

 dato segmento; di semiretta o raggio, di semipiano, di angolo piano convesso: 

 seguendo massimamente il Peano nell'op. cit. 



P25-2V. " Se a e b sono punti non coincidenti, 1' " ombra di a da b „ , o il " pro- 

 " lungamento di \ab\ dalla parte di a „ son la classe dei punti per ognuno 

 " dei quali , sia p. es. x , il punto a giace nel segmento | bx I . „ — Il punto a e 



