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il simmetrico di b rispetto ad a spettano all'ombra di a da b, e i punti b e "/ t 

 all'ombra di b da a (P7 § 2; P6, 7). 



P26-7V. " Sempre che a, b siano punti distinti, non esiste alcun punto comune ai 

 " due prolungamenti di \ab\; né alcun punto che giaccia in | ab | e nel prolun- 

 " gamento dal lato di b, se si eccettui b : ma il segmento " I ab I „ coi suoi pro- 

 " lungamenti "ombra di a da 6 „ e " ombra di è da a „ riproducon la retta 

 " ab. „ [L'ultima cosa è apertamente significata in P18, presente la P25. ■ — 

 Che nasca contradizione al supporre " x appartiene all' ombra di a da è e 

 all'o mbra d i è d a a „ , vale a dire (P25) a£\bx\ insieme con b e | ax I , emerge dalle 

 P7, 11. — E che un punto x in 1 ab l coincida con b, qualunque volta be\ax\, è 

 ancor detto in Pll; se si considera che per Hp non si può aver be\ax\ con 

 % = a; e che xe\ab\, be\ax\ non posson coesistere, se a, b, x son distinti (Pll).] 



P27-D/'. " Per mezzo dei punti non coincidenti a e b sarà data eziandio la " semi- 

 " retta a per b „ — o " raggio a verso b „ — che è la classe dei punti 

 " giacenti in \ab\ o sul prolungamento di \ab\ dalla parte di b. Ved. P7, 25. 

 " Il punto a sia l'origine di questa figura; la quale, come retta terminata 

 " in a solamente, si può designar con " \ab „. „ — Per ciò che precede, l'ombra 

 di b da a, e l'ombra di a da b, sono raggi: e se a' = "/(,, l'ombra di b da a 

 non differisce dal raggio ] ba'. Ancora: " se e è un punto della semiretta a per b, 

 coincideranno i due raggi | ab ed | ac „ . (*) 



P28-ZV. " Dati a piacere una retta r e un punto a su di essa, esiston due raggi 

 " contenuti in r, l'uno e l'altro uscenti dal punto a come origine, e che presi 

 " insieme riproducon la retta, ma non hanno alcun punto in comune diverso da 

 " quell'origine. „ — Tolgasi in r un punto b non coincidente con a, indi il 

 punto b' = h l a : saranno \ ab, \ ab' due semirette a quella maniera. [Se queste 

 avessero un punto in comune (non computando a) coinciderebbero (P27); lad- 

 dove il punto b', che spetta al raggio | ab' non spetta ad | ab (P6, 7, 11, ecc.). — 

 Se un punto qual si voglia x della retta giace in | bb'\, starà nell'uno o nell'altro 

 raggio I ab', \ab, secondo che cadrà (P12) in | ab'\ o in | ab |. E se non giace 

 in \bb'\, starà nell'uno o nell'altro, secondo che (P18) b' z\bx\ o be\b'x\; a tenor 

 di (cd')P20 e (j'f'^)P20, ecc.]. Per tanto acquistano un valore preciso queste 

 locuzioni: " i punti e e d son situati dalla stessa banda di a „ oppure — " da 

 bande opposte rispetto ad a „; potendo esprimer con esse qualmente " i punti e 

 e d sono entrambi in un solo di que' due raggi \ab, lab' „, oppur — " l'uno 

 in un raggio, p. es. [ ab, e l'altro nell'altro [ ab' „. — I quali due fatti non 

 si offriranno insieme giammai, se ambo i punti e e d sian diversi dal punto a; 

 ma una delle due relazioni sussisterà in ogni caso. Breve: " il punto a spezza 

 la retta r in due semirette \ab, \ab', che si posson chiamar le due bande 

 di a sulla retta ... Ecc. 



(*) Qui per es., e più sovente in appresso, il desiderio di abbreviarci il cammino ne induce a 

 sopprimer qualunque schema di deduzione per certi fatti, che si stiman più facili a dimostrar 

 che certi altri. Ci si perdoni questa licenza ; come ancor se la scelta non parrà sempre (ne sarà 

 forse in effetto) la più opportuna fra tutte. 



