ljn- MAKio hi.jìi 36 



P29-7V. " Due raggi 'lati a piacere son sempro congrui fra loro | e se coincidono 

 " hanno la stessa origine. Ved. P28 § 3. , [Se a, i, e, deTT, a— = £, c~ = rf, 

 esisterà (P29 § 8) un moto u(*£t)i o poi che la qualità di Bemirei I a è un inva- 

 riante del moto (come la qualità di segmento), bisognerà che u( «/<)=: c(nb); 

 per la qual cosa, so ui€|rtf,sarà senz'altro n(' ab) = ' ed (V27) ; e se u7/~e|«Z, 

 la simmetria v rispetto ad un asso perpendicolare in e alla retta ed (P6, 

 20, 21 § 3) porterà il punto uh sul raggio ed, sicché il moto vu farà che il 

 raggio I ab si sovrapponga &\ed. — Se duo raggi \ab,\a'b potessero attual- 

 mente coincidere senz'aver la medesima origine, b essendo un loro punto comune 

 diverso dalle origini a ed a', allora o a'e\àb\, o ie \aa'\ (P7, 27). Nell'un caso 

 ogni punto x fra a ed a' non sarebbe certo in I a'b \, né tale che be |a'a;l (P9-11); 

 dunque non giacerebbe in | a'b, pur giacendo in | ab. Nell'altro caso, qualunque 

 punto y (diverso da a, a, b) per cui a'e\ay\: dunque tale che a'e\by\ a motivo 

 di (i(;°3)P16, non sarebbe in \a'b\, né tale che be \a'y\ (Pll); dunque non spet- 

 terebbe ad \a'b, quantunque appartenente ad ! ab, perché be \ ay I (PIO).] 



P30-D/". " Essendo r una retta, p un punto al di fuori, 1' " ombra di r da p „ sia 

 " la " classe dei punti x, per ognuno dei quali il segmento | px \ taglia r „. — 

 " Il " semipiano r per p, o da r verso p „ — o " \rp „ — sia la " classe 

 " dei punti y tali che r non incontri \ay\, o lo incont?-i in y „. „ — Si lascia 

 al Lettor di provare qualmente sia un semipiano anche l'ombra di r da p; 

 e come, posto ad es. p' = p / r (P20§3) l'ombra di r da p sia eguale precisa- 

 mente al semipiano I rp', ecc. (ved. P17, 21); e come inoltre coincidano i semi- 

 piani \rp, \rq, qualunque volta q sia punto del semipiano \rp, ma non appar- 

 tenga ad r. Ecc. 



P31-jfV. " Se in un piano p sia tracciata una retta r, il piano verrà diviso in due 

 " semipiani non aventi alcun punto a comune da r in fuori; ma tali invero 

 " che, presi insieme, riproducono il piano: questi sono "le d uè bande di r nel 

 " piano p „. „ — In somma il prodotto logico dei due semipiani sarà eguale 

 ad r, la somma logica a p. — Due semipiani, ancorché giacciano in piani 

 diversi, son sempre congrui fra loro. Ecc. [Esiste in p qualche punto, sia p. es. p, 

 non giacente su r (P20 § 1, ecc.) ; e detto p' il simmetrico di p rispetto ad r, 

 saranno appunto | rp, \rp' quelle due parti di p. Il resto al Lettore. Cfr. P28, 29.] 



P32-1V. " Dati i punti non collineari a, b, e, qualunque piano p che passi fra i 

 "punti a e b — vale a dire incontri il segmento j ab | senza contenere a né b — 

 " passa eziandio fra b e e, o passerà fra e ed a, o passerà per e. „ Cfr. P17. 

 [Basta pensare che un piano, il quale incontri la retta ab, deve tagliare lungo 

 una retta il piano ohe (P24 § 3) : ecc.] — Si può dunque parlare delle due 

 bande di un piano P, atteso che (come accade di un piano rispetto a una 

 retta che giaccia in esso, di una retta rispetto ad un punto) lo spazio è par- 

 tito in due ben distinte figure dal piano p. Queste sono (nella predetta Hp) 

 il " semispazio p per a — o da p verso a „, e il " semispazio p per b 

 — o da p verso b „; da chiamare ancor, se si vuole, " ombra di p da b „ e 

 " ombra di p da a „: la prima essendo il luogo d'ogni punto x per cui sue- 



