37 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 209 



cede che j ax | non incontra p , o lo incontra in x (quindi anche il luogo d'un 

 punto x tale, che \bx\ sempre incontri p); ecc. Cfr. P28, 31. (*) 



P3S-Df. " Sea,b,c sono punti, a diverso da è e' da e, per " angolo convesso dei 

 " raggi " a verso b „ ed " a verso e „ (\ab ed \ac) „ s'intenderà la figura conte- 

 " nente a e tutti que' punti diversi da questo, per ognuno dei quali, e sia p. es. x, 

 " la semiretta a per x (\ax) incontra il segmento \bc\. Ved. P7, 27. La qual 

 " figura verrà eziandio designata con " à.bc „. — Vertice dell'angolo à.bc 

 " il punto a; lati le semirette, o raggi, \ab, I ac. Interno all'angolo dicesi 

 " qualunque punto dell'angolo, che non giaccia su nessun lato. „ — Se il punto ci 

 sarà interno, tutto il raggio \ad sarà dentro l'angolo. — Se collimano i punti 

 a,b e e, l'angolo à.bc si restringe a una semiretta o ad una retta, secondo 

 che i punti b e e giaceranno dalla medesima banda, o da bande opposte, di a. 

 — È pur manifesto che à.bc = à.cb; ecc. 



Con questo non ancor s'introduce 1' " angolo piano „ in tutta la generalità 

 consueta; come prima o poi si richiede a voler p. es. sommare più angoli 

 dati ad arbitrio. Si è definito soltanto l'angolo piano convesso (il solo che si 

 presenti del resto nei primi libri di Euclide); e l'aggettivo " convesso », nel 

 mentre che esclude ogni ambiguità, lascia affatto impregiudicata ogni futura 

 estensione del concetto d'un " angolo piano „ . Appresso si potrà definire anche 

 l'angolo concavo dei raggi \ab, \ac; e infine anche l'angolo improprio gene- 

 rato da rotazioni superiori in ampiezza a 360°; e tutto ciò senza contra- 

 dizione di sorta. Se p. e. i punti a, b, e non collimano, 1' " angolo concavo dei 

 raggi I ab , I ac „ si può già definir come " luogo di un punto x coincidente con a, 

 oppur giacente nel piano abe per modo che il raggio \a-.c non incontri il 

 segmento I ab ] , fuorché tutt'al più negli estremi „ . 



P34-ZV. " Se a, b, e sono punti non collineari, b' e e' due punti rispettiv. dati nei 

 " raggi | ab ed | ac, ma diversi entrambi dal punto a, l'angolo à.b'c' coinciderà 

 " con l'angolo à.bc. „ [Ogni retta passante per a, la quale incontri \bc\, 

 oppur | Ve' |, incontra eziandio | be' | (PI 7, ecc.); atteso che a sarà esterno così 

 a | bb' |, che a \cc'\; ed incontra poi \b'c'\, o rispettiv. \bc\, perla stessa ragione. 

 Ma P17 ci dice ancora che i punti d'incontro con \bc\ e \b'c'\ stanno sempre 

 (in Hp) sul medesimo raggio; vale a dire ambedue da quella banda di a, 

 dove giace il punto d'incontro con \bc'\. Ved. 27, 28.] 



P35-2V. " Dati i punti non collineari a, b, e, e preso a piacere un punto ci nell'ombra 

 " di a da b, e un punto e nell'ombra di a da e (escluso soltanto a), gli angoli 

 {opposti al vertice) à.bc, à.cle sono fra lor congruenti. Euclide, Lib. 1°, Prp. XV a . „ 

 [La sfera b a sega i quattro raggi \ab,\ac, \ad, \ae in quattro punti b,c',d',e' 



(*) Se tanto a, b, e. d quanto a, b', e, <Z sono punti non complanari, ci dev'essere un moto che 

 trasferisce a in a, il raggio " a verso b „ sul raggio " a verso b' „ e il semipiano " ab verso e „ sul 

 semipiano " a'b' verso e „ (P29,30; P4§3 ; Pll§2; ecc.). Se ciò avvien per due moti, u e v per es., 

 si troverà che ua = va, n6 = v6, uc = vc, e p. cons. nd = vd (P11§1, ecc.). Or se il punto \id sarà 

 dalla stessa banda del punto d' risp.° al piano db' e, si potrà dire che " i sensi a, b,c,d e a, b', e, d' 

 sono eguali „ — o che " i tetraedri \abcd\ e la 6' e d'I son del medesimo verso ,. Il contrario, 

 se i punti d' e [xd giaceranno da bande opposte del piano a, b', e'. Pertanto si può definire anche 

 il senso di un tetraedro. 



Sesie II. Tom. XLIX. b' 



