39 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 211 



" \cd' , o t ce? I > laèl „ — è una forma compendiosa d'esprimer qualmente " esista 

 " un moto che rappresenti un degli estremi, a o b, del segmento \ab\ con un 

 " degli estremi, e o d, del segmento \cd\, e l'altro estremo di I ab I con un punto 

 " giacente fra e e d „; ovver, ch'è lo stesso " esiste fra e e e? un punto x 

 " in maniera che | ab | sia congruente a | ex | o a | dx I . Ved. P6 § 4. — Allorquando 

 " i punti a e b coincidono, la frase " J ab I < I ed | „ -, o l'altra " I ed | > I ab | „ , ci 

 " servirà unicamente ad esprimere che " i punti ce d son distinti „. „ — 

 Sotto questa defin. 6 si posson raccogliere, in veste di corollario quasi immediato, 

 i fatti seguenti. " Se e sia punto di \ab\ non coincidente con b , sarà sempre 

 \ac\ < \ab\„ — " Ogni volta che \ab\ sia minor di \cd\, esisterà sempre un 

 moto capace di inserir l'un segmento | ab | nell'altro, ancorché sia prescritto qual 

 degli estremi a e b vogliam che si porti in e, o qual degli estremi e e d si vuole 

 occupar con a „ [Invero, se p. es. si può trasferire a su e, e è fra e e d con un 

 moto, si può ancora portare a su d con l'aggiunta di un ribaltamento intorno 

 al punto medio e | d (P6, 7 § 2) ; senza che b si diparta dall'intervallo ch'è fra i 

 punti e e d.] — "Se dei tre segmenti a, (3, y due son congruenti, p. es. a e (5, la 

 medesima relazion di > , Y , o < , che possa per avventura intercedere fra i due 

 segmenti a e y , dovrà verificarsi ancora tra i due (3 e y „ — Ecc. 



P3-7V. " Dati a piacer quattro punti a, b, e, d, delle tre cose l'una: o \ab\ sarà con- 

 " gruo a \cd\, o \ab\ minor di \cd\, o \ab\ maggior di \cd\\ e ciascuno di 

 " questi tre casi escluderà gli altri due. „ — E ogni moto che sovrapponga i 

 due raggi \ab e | ed, farà che b si converta in un punto interno, od esterno 

 a | ed | , o coincidente con d, secondo che \ab\ sia minore, o maggiore, o 

 congruente a \cd\. [Mi restringo a supporre a~ = b e c~ = d. Se p. e. 

 | ab | Y | ed | , non può esistere un moto u , per cui a si converta in e, e b divenga 

 un punto b' appartenente a \cd\, ma non coincidente con d : perché se esistesse, 

 visto che si dà sempre anche un moto v(£jj) per Hp (P28 § 3, PI), esisterebbe 

 anche un moto uv traducente in b' il punto d, senz'alterar l'altro estremo e; e 

 però d coinciderebbe col punto b', o col punto 6 '/= (P3-5 § 2). Ma sì l'uno che 

 l'altro evento è contrario al supposto che V appartenga a \cd\ senza coincider 

 con cZ(P6, 7, 11 § 4; ecc.). Cosi resta provato che il fatto \ab\ Y \cd\ non va 

 d'accordo col fatto [ ab | < | ed | ; né con l'altro | ed \ < \ ab | , sendo qui lecita la 

 sostituzione ($,',?$). — Con un simile ragionamento si prova eziandio l'incompa- 

 tibilità delle ipotesi | ab | < | ed | e | ed | < | ab | , che involgerebber l'esistenza di moti 

 quali ad es. u^'j) , v (£$$), con b' giacente fra e e d, d 1 fra a e b, b x fra d 1 ed a. 

 Ora il moto vu, p. es. , trarrebbe b in b x tenendo fermo a; onde b t = b, o 

 &! = 6 / n : laddove nessuna di queste illazioni è conciliabile con la premessa che 

 èi cada fra a e a", e d x fra a e b. Ecc. — Circa la prima parte del Tr., basta 

 portare il raggio \ab sopra l'altro \cd conforme a P29§4; dopo di che, se b 

 non cadrà su d, bisognerà ch'esso addivenga in un punto interno a [ ed \ , oppur 

 nel prolungamento oltre d (P27 § 4). Ecc.] 



P4-JV. " Siano a, b, e, d, e, f punti dati: se \ab\ è minor di \ed\ , e \cd\ minor di | ef\ , 

 " anche \ab\ è minor di \ef\. „ [Se p. es. il moto u traduce 'a in e, e è in un 

 punto V fra e e d (P2) ; e il moto v similmente traduce e in f, e d in d" fra f 



