2X2 MAIUO P1KKI III 



ed e; alluni il punto V a causa di u si porta va un punti) //' fra d" ed f, 

 atteso che il giacer fra due punti è proprietà covariante di questi rispetto a 

 ogni moto. Dunque b" giacerà fra i punti f ed a (PIO §4); dunque il segnu-nti. 

 \cb'\, congruente ad \ab\, saia minor del segmento \ef\ (P2). Ecc.] 



P5-7V. " Qualunque siano i punti a,b,c e secondo che \ac\ sia minore, maggiore, o 

 " congruo ad \ab\, il punto e sarà interno, esterno o appartenente alla sfera fi„. 

 " Ved. P2 § 4. „ [Se p. es. b ~ = a e \ab\ < \ac\, dovrà esistere un moto che, non 

 toccando a, muti b in qualche punto V giacente fra e ed a (P2) ; onde e esterno 

 al segmento | «fi' J (Pll§4). D'altra parte e sarà esterno ad \ab"\, se b" s = b 'l„; 

 giacendo sul raggio i ab' che non ha punti a comune col raggio \ab", eccezion 

 fatta di a (P28 § 4), ma e è diverso dai punti u, fi', fi". Dunque e esterno a 

 I fi'fi" | (P6, 12 § 4), che è quanto dire esterno alla sfera fi. (P4, 7 § 4). — Se invece 

 poniamo c~ = « e \ac\ < \ab\, deve esistere un moto che trattenendo a su a 

 porti e fra i punti a e fi, p. es. in e'. Ora un tal punto e' starà sempre fra 6 e '/«; 

 dunque e' e p. cons. anche e sarà interno alla polosfera dei punti fi e h U (P6§4,ecc), 

 che è quanto dire alla sfera fi„.] 



P6-7V. " Qualunque siano i punti a, b, e, se e sarà interno alla sfera fi centro a, per 

 " contro fi sarà esterno alla sfera c„ ; e viceversa. E ciascun punto interno a c a 

 " sarà interno ancor di b a . „ [Cos'i dalle P2, 4, 5, ecc.] 



P7-7V. " E ogni retta che passi dal punto interno e deve incontrare in due punti 

 " non coincidenti la sfera fi„. „ [Se quella retta passa per a, o se è perpendi- 

 colare a ca, si ritorna a P19§3, ovvero a P4 § 4. Se no, calata dal centro la 

 perpendicolare ad sulla retta, il piede risulta interno alla sfera c„ (P14 § 4), 

 quindi interno a fi„ (P6); dunque è vero che la ed, perpendicolare a da, ne in- 

 contri due volte la sfera fi„ (P4 § 4.] 



P8-7V. " Se a, fi sono punti, qualunque retta conterrà punti esterni alla sfera fi„. „ 

 [Si può conceder che fi ~ = a. Se la retta è tangente alla sfera, cioè la incontra 

 in un punto, p. es. e, e non altrove, ogni punto diverso da e sulla retta sarà 

 esterno alla sfera (P30 § 2, P14 § 4). E se un punto d sulla retta è interno alla 

 sfera, cosicché \ad\ < \ab\ (P5), allora preso un punto esterno a piacere, p. es., 

 il punto «' = "/& , sarà inoltre | ab | minore di \aa'\, dunque \ad\ < \aa'\ (P4) ; 

 e p. cons. d interno alla sfera a' a (P5). Questa pertanto, e la retta data s'incon- 

 trano (P7); e i punti comuni sono esterni a fi„, come a' (P4 § 4).] 



P9-2V. " I punti a e 6 son distinti, e è punto esterno a fi a , p un piano passante per 

 " tutti e tre: si dimostra che in questo piano si posson tirar da quel punto due 

 " rette tangenti alla sfera. „ Euclide, Lib. 3°, Prp. XVD> [Uno qualunque dei 

 punti, sia p. es. d, in cui s'incontran la retta ca con la sfera fi„ (P19 § 3), sarà 

 interno alla sfera c„ (P6): sicché la perpendicolare ordinata alla retta ca dal 

 punto d nel piano p incontra in due punti e, e' la sfera c a . Siano f,fi piedi 

 delle perpendicolari calate da e sulle rette ae, ae'. Se si ribalta il piano p su se 

 stesso intorno ai punti (distinti fra loro) a e c\e come cardini (Pll § 2), ne usci- 

 ranno scambiati fra loro i punti e ed e, e permutate le rette ca, ea. Dunque la 



