41 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 213 



retta ed, perpendicolare a ca, copre la retta cf, perpendicolare ad ra(P29§2); 

 dunque anche i punti d ed f si barattan fra loro: e pertanto f, come d, starà 

 sulla sfera b a che non s' altera ; e cf sarà tangente al pari di ed (P22 § 2). — 

 Così ancor cf è tangente; e il Lettor può vedere che queste due rette cf e cf 

 non posson coincidere.] 



PlO-Tr. " Posto che a, b, e siano punti, e giacente fra a e b, ne vien che il simme- 

 " trico di a risp. a e deve stare fra il punto a e il simmetrico di a rispetto 

 'ai, Ved. P3 § 2. „ — Ovvero (concessa l'ordinaria nozion della somma di 

 due segmenti, com'è stabilita in P20): " se un segmento è minore di un 

 altro, anche il doppio del primo è minore del doppio del secondo „. [Posto 

 a' = "li , e' he c / 6 , e visto che i punti a, b, e son distinti, che e e | ab | e b e | aa' \ ; 

 onde b,ct\aa'\ (PIO § 4) e b~e\ac\ (Pll§4); si deduce che be\ca'\ (P12 § 4) 

 e \ba'\ Q \ca'\. Ora un moto che rappresenti a con a' e b con sé stesso (PI, 3 

 § 2) muterà e in e' ; laonde e' e | ba' | , e p. cons. c'è \ca'\: e un moto che permuti 

 e con a' (P4, 6 § 2) dovrà condurre e' in tal punto e", per cui \cc"\ sia congruo 

 ad | a' e' | , quindi anche ad \ac\; dunque in un punto che, se non coincide con a, 

 si confonde necessariamente col punto "/« (P2, 3, ecc.). Ma non coincide con a, 

 dovendo giacere in | ca' \ , mentre a non vi giace (in quanto si sa che e stia fra 

 i punti a e a'): dunque c" = a j e ; onde il punto 7= starà in \ca'\ e p. cons. in 

 \aa'\, dal momento che ce]aa'|.] 



Pll-Tr. " Sotto la stessa Hp, la polosfera di a, è e la sfera di e intorno ad a s'in- 

 " contrano. „ [Siano ni il punto medio di a e b, n di a e e. Bisogna che n stia 

 fra m ed a ; se no m giacerebbe internamente ad \an\ (visto che tri, n, a son 

 distinti e che m, n e | ab | ) e p. cons. b giacerebbe fra i punti a e e (PIO) contro 

 l'Hp (PH). Dunque m esterno alla sfera n a (P2, 5); dunque esiste sopra n a qualche 

 punto d tale che (d a) x (d, m) (P9, ecc.). Ora il punto % giacerà sulla sfera tn a 

 (P20 § 2), che è la sfera polare di aeb; come ancor sulla sfera c a , perchè un 

 moto quale (£$) rappresenta il punto a j d nel punto a j n coincidente con e] 



Quest'ultima insieme con la P13 § 4 ne fanno certa oramai l'esistenza di una 

 terna (x,y,z) di punti soggetti alla condizione che i segmenti \ocy\, \xz\, \yz\ 

 siano tutti congrui a un dato segmento \ab\: oppur tali che \xy\ e \xz\ siano 

 congrui ad \ab\, ma | yz j congruente ad un altro segmento minore del doppio 

 di | ab | . — Ch'esista un triangolo coi lati congrui a tre dati segmenti, ciascuno 

 minor della somma degli altri due, si dimostra in P19 § 6. E noto che questi 

 fatti, in quanto dipendono dall'esistere o no di punti comuni a due cerchi, sono 

 imperfettamente provati nel testo euclidèo, quale ci è pervenuto. Ved. le Prps.' I a 

 e XXH a del Libro 1°. 



F12-Df. " Di due angoli piani convessi, p. e. a . bc, d.ef — dove a, b, ... f siano punti, 

 " a,b e non collineari e d non coincidente con e o con f — si dirà che il primo 



" è minor del secondo, o che questo è maggiore del primo (d.bc < d.ef , o 



" d.ef > à.bc) ogni volta ch'esisterà un moto sovrapponente un lato del primo 

 " ad un lato del secondo e l'altro lato del primo ad un raggio interno al se- 

 " condo. Ved. P29, 33 § 4. Ovver, che è lo stesso: " se esisterà un punto x in- 



