43 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 215 



à.bc Y d.ef dovrà esistere un moto |U che traduca a su d, \ab su [de, \ac su 

 \df (PI, ecc). Ora il punto uè non potrà cader fra i punti d ed e, ne il punto e 

 restar fra i punti d e uè; dal momento che per Hp il lato \ab\ non è minor, 

 ne maggiore del lato \de\ (P2, 3). D'altra parte, se \xb non coincidesse con e, 

 si dovrebbe appunto verificar l'uno o l'altro di que' due casi; perchè nò ed e sa- 

 rebber distinti fra loro e dal punto d, e situati nella stessa banda di questo 

 (P18, 27, 28 § 4). Dunque ]xb = e; e al modo stesso u e = /", ecc.] 



Un altro caso di congruenza fra due triangoli (Euclide, Lib. 1°, Prp. VLTI a ) 

 può aversi per dimostrato in P32 § 3, qualor si rifletta che la congruenza di due 

 segmenti importa eziandio la congruenza delle due coppie di punti estremi (PI). 



P17-2V. " Se a,b,c sono punti non collineari, l'angolo convesso à.bc sarà il luogo 

 " dei punti comuni ai due semipiani di ab verso e e di ac verso b. „ — Vale 

 a dir che " à.bc = \{ab)c n \( a c)b „. Ved. P28, 30, 33 § 4. [Che ogni punto del- 

 l'angolo sia comune ai due semipiani emerge senz'altro dalle Df. citate e dalle 

 Pll, 17 § 4; mercè le quali il supporre x punto giacente fra è e e, e y punto del 

 raggio | ax ma diverso dai punti a ed x farà sì che né la retta ab potrà passar 

 fra e ed y, né la ca fra b ed y. — Ora sia z un punto comune ai due semipiani, 

 ma esterno alle rette ab, ac, bc. Dal momento che per Hp la retta ab non passa 

 fra e e z, né la ca fra b e z, bisognerà che la az passi fra è e e, a tenor di („) 

 P23 § 4 : né potrà darsi che a giaccia fra z e il punto z' comune ad az e \bc\, 

 perchè la retta ba non può passare fra z e z' senza passare altresì fra e e z ; 

 giusta Pll § 4 e (#) PI 7 § 4. Dunque ze à.bc. ] 



P18-IV. " Di nuovo essendo a, b, e punti non collineari, e preso un punto diverso da 

 " e, sia p. es. d, sul prolungamento del lato | bc | dalla parte di e, l'angolo è . ad, 

 " esterno al triangolo |aJc|, sarà maggior di ciascuno degli angoli interni op- 



" posti à.bc, b.ca. „ Euclide, Lib. 1°, Prp. XVT\ [Pongasi e = a\c, f = b / e . Il 

 punto f giacerà nel semipiano \(ac)d; stante che la retta ac, passando fra b 

 e d e fra b ed f non può passar fra dedf (P21 § 4); e giacerà in pari tempo 

 nel semipiano | (cd)a ; perchè la retta ed non potrebbe passare fra i punti f ed a, 

 senza passare fra i punti a ed e, ovver fra i punti f ed e (P17 § 4): dunque 

 f e è. ad (PI 7), anzi /'interno a è. ad. Pertanto è . af < è . ad (P12). Ma dall'esser 

 \eal\ec\, |ei|V|ef| ed é.ab)L é.cf (P35 § 4), si deduce che à.belè.fe (P16); 

 mentre si sa d'altra parte che à.be^Là.bc, é./eY è.af(P3B, 34 § 4): dunque 



a. bc < e. ad (PI 3). — Resta il provare qualmente b.ca sia minor di è. ad, ma 

 si lascia al Lettore.] 



P19-2V. " Se, dati i triangoli \abc\ e \def\, gli angoli b.ca e è. ab dell'uno siano 

 " congrui rispettiv. 6 agli angoli é.fd, f.de dell'altro; e di più siano congrui fra 

 " loro anche ilati \bc\ ed \ef\ compresi negli angoli congrui — oppure i lati \ab\ 

 " e \de\, che sono opposti ad angoli congrui, sarà l'angolo rimanente à.bc 



" congruo al rimanente •d.ef; e dei rimanenti lati saranno congrui fra loro quelli 

 " che sono opposti ad angoli congrui, vale a dire | ab \ con \de\, \ac\ con \df\. „ 

 Euclide, Lib. 1°, Prp. XXVP. [Sia dapprima | èc j V | e ^" | . p e r Hp esisterà un moto 

 u trasformante la coppia dei raggi [ba e bc nella coppia \ed ed |e/"(Pl); dunque 



