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tale eziandio che \ic si confonda con /', oltre che ufe con e, per lo ragioni teste 

 assegnate nella dm. di PIO. Ora, Be il punto uà non coincidesse con d, bisogne- 

 rebbe supporlo interno al segmento [de], oppur nel prolungamento di questo 

 oltre d (P18, 25, 27 § 4). Ma nell'un caso avremmo ò.ab < f.de, nell' altro fi .ab > 



[.de (P12): dunque necessita che u« coincida con d (P13); ecc. — Supposti 

 invece congruenti fra loro i due lati | «6 1 e \de\; se come dianzi facciamo co- 

 incider l'angolo h.ac con l'angolo é.df, il punto a verrà in ci: né potrà darsi 

 che e si riduca in un punto fra f ed e, né che f rimanga compreso fra la nuova 

 posizion di e e il punto e: stante che nell'un caso l'angolo (uc).de — congruente 



all'angolo è. ab — risulterebbe maggiore dell'angolo f.de, nell'altro minore 

 (P18). Ecc.] 



§ 6». 



Somma di due segmenti. Altre proprietà di triangoli, cerchi, ecc. 



Continuità della retta. 



Pl-Df. " Dati a piacere i punti a, b, e, e presi tre punti a', b', e' in maniera che b' 

 " giaccia in |a'c'|, e che \a'b'\ e \b'c'\ sian congrui rispettiv. ad \ab\ e \bc\, la 

 " qualità di " somma dei due segmenti \ab\ e \bc\„ spetta a qualunque seg- 

 " mento congruente al segmento | a'c' | , e non si dà che per questi. „ — In 

 sostanza è come dir " somma di | afe j e | fec | „ la " classe di tutti i segmenti 

 congruenti ad \a'c'\ „. Ma il più spesso, uniformandoci all'uso, chiameremo anche 

 " somma „ dei due segmenti un qualunque segmento di detta classe. — 

 Dimostri il Lettore che tant'è sommare \bc\ con \ab\, quanto ( afe | con \bc\, 

 perché in ambo i casi si ottengono segmenti congrui fra loro (proprietà commu- 

 tativa) ; e che se a, p, f sono segmenti ed a minore, maggiore, o congruente a (3, 

 la somma di a con t rispettiv. minore, maggiore, o congruente alla somma 

 di p con t. Ecc. 



Potremmo ormai riprodurre tutte quante le propos.' del 1° e 3° libro di 

 Euclide, che non dipendono dall'Assioma XII ; e che spettan per tanto, siccome 

 tutte le precedenti, alla geometria così detta Lobatschefskiana non meno che 

 all'Euclidèa. Solamente la prps. XXII a del 1° libro non par che si possa otte- 

 nere dalle premesse che abbiamo accolte fin qui; sicché rimandiamo per essa 

 al XX ed ultimo principio. Ma circa il resto, quasi nulla è da aggiungere o 

 togliere al testo degli " Elementi „ ; salvo alcune facili modificazioni di forma 

 negli enunciati di certe proposiz.', come la XIII a , XIV a e XVM a , dove si parla 

 della somma di due angoli; e particolarmente in quelle che, sotto la denomi- 

 nazion di " problemi „, si propongono di " trovare „, " costruire „, " stac- 

 care „, " adattare „, " riportare „, ecc., certi punti o figure da certi altri 

 punti o figure date; e vogliono in somma certificare qualmente a partire 

 dai tali e tali elementi risultin determinate le tali e tali figure, e come 

 queste si possan desumer da quelli; così da poterne affermar l'esistenza, ogni 



