45 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 217 



volta che occorra adoperarle a scopo di deduzione. E che questo sia veramente 

 l'ufficio dei problemi in Euclide, cioè puramente dimostrativo e non pratico, 

 apparisce all'esame delle dimostrazioni euclidiane: dove i problemi son sempre 

 invocati a legittimar l'intervento, nelle operazioni o trasformazioni logiche, dì 

 certi elementi estranei alle ipotesi; onde hanno propriamente il valore di lemmi 

 esistenziali, e null'altro (*). Il perché sarà forse più conveniente ad una 

 Geometria puramente ipotetica (e, direi, più conforme al gusto moderno), l'esi- 

 birle come teoremi esistenziali; e questo abbiam preferito in ciò che precede. 

 Ma non è cosa d'importanza più che mediocre ; né da togliere a chi lo desidera 

 il poter fare altrimenti. 



Alcune propos. 1 di que' due libri si riportano qui solamente nell'enunciato; 

 perché mentre fanno al nostro proposito (e ci accade invero di adoperarle — 

 ancorché non si veggan citate ogni volta — prima di chiuder la presente memoria) 

 non ci bisogna portare nessun cangiamento alle dimostrazioni tali e quali ci 

 sono offerte dagli " Elementi „, per voler esser pienamente d'accordo con quanto 

 precede. 



P2-IV. " Dato che a, b, e siano punti non collineari, e i segmenti \ab\, \ac\ congrui 



" fra loro, saranno congruenti anche gli angoli b.ac e è. ab. E, prolungando 



" que' due segmenti al di là di è e e nei punti d ed e, gli angoli b.cde è.be 

 " saranno anche congrui fra loro. „ Euclide, Lib. 1°, Prp. V a . — [Dall'Hp 

 e dalla PI § 5 deduciamo che e appartenga alla sfera b a ; e che però , detto m 

 il punto medio fra b e e, la retta bc sia perpendicoli alla ma (P21 § 2, ecc.). 

 Dunque il ribaltamento del piano abe su sé stesso intorno i punti m, a come 



cardini (Pll§2, ecc.) farà che gli angoli b.ac e è. ab si barattin fra loro, 



e così gli angoli b.cd e è.be. — Ma si potrebbe anche qui ragionar come 

 Euclide al luogo citato.] 



PS-Tr. " Se gli angoli è. ab, b.ac di un triangolo (essendo a, b, e punti non alli- 

 " neati) sono congrui fra loro, eziandio i lati \àb\, \ac\ che sono opposti a questi 

 " angoli saranno fra ìor congruenti. „ Ibid. Prp. VI a . [Se p. es. j ac | fosse minore 

 di | «5 1 , dunque congruo a un segmento \bd\ con d giacente fra a e b (PI, 2 §5), 



n'uscirebber congrui fra loro anche gli angoli b.ca e è.bd, grazie a (a;";^)P16§5 

 ed a P34 § 4, vale a dir è . ba e è . bd: ma ciò contraddice alle P12, 13§5. Ecc.] 



P4- Tr. " Se nel triangolo \abc\ (sondo ancora a,b,c punti non collineari) si verifica 

 " che il lato \ab\ sia minore del! lato \ac\, anche l'angolo e . ab sarà minor del- 



" l'angolo b.ac. , Ibid., Prp. XVILP-. [Da P18 § 5, P2, ecc.] 



P5-2V. " E se, viceversa, è. ab sia minor di b.ac, anche \àb\ sarà minore di \ac\. „ 

 Ibid., Prp. XIX a . [Da P2, 4, ecc.] 



P6-Tr. " Purché a,b,c siano punti non collineari, qualunque segmento somma dei 



(*) Cfr. H. G. Zeuthen, Die geom. Consiruction als " Existenzbeweìs „ in der antiken Geometrie 

 (" Math. Ann. „ Bd. 47). 



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