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■■ due \bt | -ara sempre maggior di |4c|. „ limi.. Prp. XX" |l>,; l'I 8 §5 e 



PI, 2, 5, ecc.] 



P7-2V. " E se d sia punto interno al triangolo \abc\, la somma dei segmenti \bd\, 



" \dc\ sarà sempre minor della somma dei lati [ba\, \ae\; ma l'angolo d.bc 

 " maggior dell'angolo à.bc. „ Ibid., Prp. XXI". [Dove occorre la proprietà se- 

 gnalata in coda a PI, e son da richiamar le P14, 18 §5, P6; ecc.] 



P8-2V. " Di nuovo essendo a, b, e punti non collineari, sia d il piede della normale 

 " abbassata dal punto a sulla retta bc (P28 §2i: se avvien che il segmento \db sia 

 " minor del segmento \dc\, sarà nel medesimo tempo \ab\ minore di \ac\. E, 

 " viceversa, non può essere | ab j minore di I ac | , se non è \db\ minor che j de, \ . „ 

 Leoendre, Elementi, Lib. 1°, Prp. XVI a . [Posto che b non giaccia in ledi, siano 

 a' e b' i simmetrici di a e di b rispetto a d. Il punto b' è interno a |cd| (P8 

 §5, ecc.); quindi interno al triangolo \cad\ (P14 § 5). Dunque | «a' j minor che la 

 somma di j ab' | con | Va! | (P6) e questa minore alla sua volta di qualunque seg- 

 mento appartenente alla somma di \ac\ con |ca'|(Pl,7). Ora, poiché i segmenti 

 \ab'\ e | b'a'\ son congruenti, e congrui del pari i segmenti \ae\ e jm'|(P20§2,ecc), 

 si può invocar la PIO § 5 e concluder che|«è' | sia minore di l«c|(P3§5). Ecc.] 



P9-2V. " Se a, b, e sono punti e e appartiene alla sfera b a , qualunque punto giacente 

 " fra b e e sarà interno alla sfera. E viceversa ogni punto interno alla sfera e 

 " allineato coi punti beo giacerà fra questi due. „ Euclide, Lib. 3°, Prp. II* 

 [Sia d un punto fra è e e (sicché b ~ = e) ed m il punto medio fra questi. Se 

 m = a, basta richiamarsi a P2, 5 § 5. Se w~ = a, la retta ma sarà perpendi- 

 colare alla retta bc (P21, 27 § 2, ecc.); quindi \md\ < \mb\, ovvero | md\ < \mc\ 

 (P2 § 5), secondo che d sta in \mb\, ovvero in |?nc|(P12§4, ecc.); dunque (P8) 

 | ad | minore di \ab\, ovvero di \ac\ che è lo stesso (P2 § 5), e p. cons. d interno 

 alla sfera (P5 § 5). — Di poi, se per es. il punto d' allineato con b e e sarà 

 interno alla sfera b„, sappiamo che \ad'\ è minore di |aè|(P5§5), e p. cons. 

 | md'\ < I mb I (P8); dunque d' interno alla sfera b m , dunque interno a |èc|(P7§4).] 



PlO-Tr. " Se a e b sono punti distinti e e sia, come d, punto interno o apparte- 

 " nente alla sfera b a , allora tutti i punti che stanno fra e e d sono interni. „ 

 [Similmente a P9.]. — È quanto dir che " ogni sfera è figura convessa „. Il 

 simile sta per la retta, il piano, il segmento, il raggio, il semipiano, l'angolo 

 convesso, il triangolo, ecc. Ved. Peano, Prìncipi (op. cit.) passim. 



P11-2V. " Se lue triangoli hanno due lati congrui a due lati, l'uno all'altro, ma gli 

 " angoli compresi tra questi lati non son congruenti, il terzo lato sarà maggior 

 " nel triangolo, dove l'angolo è maggiore. „ Euclide, Lib. 1°, Prp. XXTY". [Da 

 P33§4;P1, 12§5;P2, 5; eoo.] 



P12-2V. " E se due triangoli abbian due lati congrui a due lati, l'uno all'altro, ma 

 " i rimanenti lati non congrui, l'angolo compreso dai lati congrui sarà maggior 

 " nel triangolo, dove il terzo lato è maggiore. „ Ibid., Prp. XXV S . 



P13-2V. " Essendo a, b, e punti non collineari e e esterno alla sfera a b , se avvien 



