47 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 219 



" che un punto d appartenente alla sfera sia interno all'angolo b . ca, sarà neces- 

 " sanamente \cd\ minor di \ca\. „ Ibid., Lib. 3°, Prp. VIII a [Da Pll, ecc.] 



P14-2V. " Siano a, b, e punti non collineari, e appartenga alla sfera b a ; e sul cerchio 

 " del piano abe e della sfera b a si prenda un punto d esterno all'angolo d.bc. 

 " Qualunque punto del cerchio, ove sia interno all'angolo à.bc, sarà interno 



" all'angolo d.bc; e viceversa. „ [Sia p. es. y un punto interno all'angolo d.bc, 

 oltre che appartenente alla sfera b a : ed y' il punto comune alla semiretta | dy 

 e al segmento | bc | (P38 § 4, ecc.). Questo punto y è interno alla sfera (P9), 

 dunque interno al segmento | dy [ (P9). Ora la retta bc, passando fra d ed y né 

 contenendo a, dovrà passar fra d ed a, ovver tra y ed a (P8, 17 § 4). Ma, se la 

 bc potesse contenere un punto giacente fra d ed a, questo sarebbe interno alla 

 sfera (P5 § 5), e però, come dianzi, interno a I bc \ , oltre che giacente sul raggio 

 \ad: sicché d verrebbe ad essere interno all'angolo d.bc, contro l'Hp. Pertanto 

 bc passa fra y ed a ; cioè taglia il segmento \ya\ in certo punto y" , che sarà 

 interno al cerchio, e p. cons. interno a | bc 1 (P9). Ma egli è pure interno ad | ay 

 (P27 § 4) ; dunque y e à. bc. Ecc.] 



Facciam seguire il " principio della continuità nel segmento „, ossia un 

 postul. che racchiude il fatto più rilevante di ciò che suol dirsi " continuità 

 della retta „. È tolto di peso dai Principi di Geometria del prof. G. Peano (*). 



POSTULATO XX°. 



P15. Se a e b sono punti distinti e k è una figura non illusoria tutta interna 

 al segmento \ab\, dovrà esistere un tal punto x interno ad \ab\, o coin- 

 cidente con b, per cui 1°) nessun punto di k giaccia fra x e b, 2°) e 

 comunque sia preso il punto y fra a ed x, sempre esistano punti di k 

 giacenti fra y ed x, o coincidenti con x. — Un così fatto x può chiamarsi 

 " limite superiore — o inferiore — della classe k „. 



Da questo e dai precedenti principi si può far derivare, circa - i segmenti e gli 

 angoli piani convessi, quella tal proprietà che va sotto il nome di postulato di 

 Archimede (assioma V° de sphaera et cylindro); siccome il Lettor può vedere ad es. 

 in Peano (**), dove la deduzione è svolta per ogni parte, in quanto concerne il seg- 

 mento. Qui si enuncia il detto principio, senza più insistervi. 



P16-2Y. " Siano a ed a x punti distinti, b un punto del prolungamento di [a»! | dalla parte 

 " di a t . Posto a 2 = a la ì , e più in generale (qualunque sia l'indice i, purché 

 " intero e maggior di 2) a t = a i-^ja i _ l , esisterà sempre un numero intero 

 " positivo n tale che il punto b stia nel segmento \a„^ l a„\. Ved. P3§2: P7, 

 " 25 §4. „ 



Il pstl. XX , di cui non è per anco esclusa la necessità per alcune parti della 

 Geom. a elementare, ci servirà immediatamente a colmare (con le P18 e 19) una 



(*) Ved. anche " Rivista di Matem.», t. IV , pag. 74. 

 (**) Ivi, pagg. 86, 87 e 90. 



