820 maki'i i i 48 



certa lacuna cho si riscontra nella dimostrazione d'un teoiv' li iale degli 



" Piemonti „, qual'è la prp° XXII a del Libro 1" f : J. 



IT7-7V. " Dati tre punti non collineari a,b,c, dove e appartenga alla sfera b„, e 

 " preso un punto <l fra b e e; le circonferenze b, t e d b nel piano abe s'incontrano, 

 * ed hanno sempre tm punto comune entro l'angolo piano convesso à.bc. „ [Che 

 s'incontrino emerge senz'altro dalla Pll§5; perché dall'esser \bd\ minor di 

 |èc|por Hp., e I bc | minor della somma di | ha | con | ac | (P6), ne risulta \bd\ minore 

 del diametro \bb'\, dove b' == b j a (PI), sicché questo è tagliato in un punto 

 dalla sfera d b (P3 § 5). — Ora sia p. es. x un punto comune a quei cerchi. Se 

 x' ~ (.à.bc, sarà nondimeno tl.bx' minor di 4.&c(P12): dunque esisterà un moto 

 che, non alterando il lato comune I ab, ne dia per immagin dV un punto x 

 nell'interno dell'angolo à.bc (P12 § 5); e d'altra parte una trasformazione sì 

 fatta non può cangiar né le sfere b a , d b , né il piano abe] 



P18-1V. " Nel supposto che a, b siano punti distinti, e e, d punti l'uno interno e l'altro 

 " esterno ad | ab | , si dimostra qualmente la sfera c d e la polosfera dei punti a e b 

 " s'incontrano. „ 



[Si può supporre ad es. che d stia nel prolungamento di \ab\ dalla parte 

 di a. Sulla Sfr(a, b) prendasi un punto o non giacente in ab ; p. es. un de' punti 

 comuni a detta sfera ed al piano perpendicol. in e sulla retta (P8 § 4). La 

 congiungente di o con qualsivoglia punto p dell'interno di \ab\ ne incontra la 

 Sfr(a, b) nuovamente, vale a dire in un punto diverso da o, che distingueremo 

 da p mediante un accento, chiamandolo dunque p' (P7 § 5). 



Esistono al certo nell'intervallo | ab | dei punti p tali, che a ciascuno sia coor- 

 dinato un punto p' sì fatto ehe | dp' \ < \ de \ . Invero la sfera c a e la polosfera di 

 (a, b) s'incontrano fuor della retta ab (Pll § 5); anzi il cerchio comune a queste 

 due sfere (P26 § 3) ha due punti distinti sul piano abo, l'un de' quali cadrà nel 

 semipiano da ab verso o, l'altro nel semipiano complementare, ossia nell'ombra 

 di ab da o. Or se quest'altro sia p. es. p', le rette op' ed ab si taglieranno in un 

 punto p interno ad \op'\ (P30, 31 § 4), quindi interno ad \ab\ (P9); e sarà \dp'\ 

 minor della somma di \ad\ con \ap'\, cioè minor che [<?c|(Pl, 6). 



Si può pertanto invocare la preced. 6 P15 sulla classe dei punti p, a cui si deb- 

 bono i punti p' nei quali succede che | dp' | < | de | . Dunque esiste, pertinente ad 

 \ab\ ma non coincidente con a, un punto x in ordine al quale si avvera che 

 1°) Nessun punto u che stia fra x e b sarà tale, che | du' \<\dc\: cosicché per 

 qualunque u fra x e b sarà sempre \du' \ maggiore, o congruente a | de \ ; 2°) Co- 

 munque si prenda il punto y fra i punti a ed x, vi sarà sempre un qualche punto 

 z: fra y ed x o coincidente con x, per cui | dz' \ < | de \ . Si dimostra che il punto x' 

 subordinato ad x mediante l'anzidetta proiezione da o non può esser tale, che 

 \dx'\ sia minore a \dc\, né che sia maggiore: dopo di che siamo certi che 

 \dx'\ è congruente a \dc\ (P3 § 5), e che per tanto x' appartiene a c d (P28 § 1). 



Si faccia l'ipotesi |(fo/[< \dc\. La sfera c d taglierà dunque il raggio \dx' in 

 tal punto i, per cui la somma | dx' \ più | x'i | sarà congruente a | de \ ; e il seg- 



(*) Cfr. Veronese, Elem} di Geom.*, pag. 85 (op. cit.). 



