49 DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE COME SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO 221 



mento \x'i\ potrà esser minore o maggiore del segmento \x'b\. Sia p. es. minore. 

 Allora, detto e il punto medio di a e b, vi sarà un punto u' comune ai due cerchi 

 veè c , oltre che interno all'angolo è.bx' (P3 § 5 e P17), e però collegato, per 

 projezione da o, con un punto u fra x e b (P17 § 4 e P14). D'altra parte la somma 

 dei segmenti | dx' | ed | x'u' | sarà sempre maggiore al segmento | du' | (P6, ecc.) 

 fuorché nell'ipotesi che u' coincida con i. Dunque, se «' ~ = i, si cade in con- 

 tradizione con 1). Ma non vien meno la contradizione qualora u' coincida con i : 

 perché in tal caso ogni punto v giacente fra x ed w, quindi anche fra x e b, deve 

 giacer fra d ed u jin fatti la retta ox' passando fra i punti d ed i, passa eziandio 

 fra dea. ti (P17§4), per la qua! cosa |#m|o|c/m| (PIO § 4)J e il corrispondente v' 

 cader nell'interno dell'angolo 6 . di (P34 § 4) ; quindi «/ interno all'angolo è. dì 

 (P14) e per cons. |rfy'|<|rfi| (P13): cioè \dv'\ sarebbe minor che \dc\, quan- 

 tunque v giaccia fra x e b. — Suppongasi invece | x'i \>\x'b\. Allora, preso un 

 punto j a piacere fra x' e b, la somma | dx' | più | x'j \ sarà certamente minore a 

 \dc\; ed esisterà come dianzi un punto u' comune ai cerchi j x < e 5 C , interno al- 

 l'angolo è.bx 1 e tale ancora, che \du'\ <\dc\ (P4§5; PI, 6, 17, ecc): il che pa- 

 rimente è contrario alla condizione 1). 



L'ipotesi \dx'\ > \dc\ si può infirmar similmente appellandosi a 2). Da essa in- 

 fatti conseguirà l'esistenza d'un punto i situato fra i punti d, x' e tale, che | di | 

 sia congruo a \dc\. Ma, \dc\ essendo maggior che \da\, non potrà essere \x'i\ 

 congruo con | x'a 1 ; perchè ne verrebbe | dx' I maggior che la somma I x'a \ più 1 ad \ 

 (PI), contrariamente a P5. Sia dunque \x'i\ minore di \x'a\. Il cerchio v e il 

 cerchio dato a e s'incontreranno in un punto y' interno all'angolo é.ax' (P17), 

 il qual projettato da o ne darà un punto y giacente fra a; ed a (P17 § 4; P14, ecc). 

 Ora, se tj non è allineato coi punti d, x', la somma \dy'\ più \x'y'\, congruente 

 alla somma \dy'\^vi\x'i\, sarà certamente maggior che \dx'\ (P6), il quale è 

 congruo alla somma \dc\ più \x'i\; dunque ìdy'l > \dc\ (PI): dunque in forza di 2) 

 vi sarà sempre fra x ed y un tal punto z, per cui si verifichi \dz'\ <\dc\. Ma 

 bisogna che y giaccia fra i punti a e z (dal momento che sta fra a; ed a); e che 

 quindi y' sia interno all'angolo ó.az', e p. cons. all'angolo é.az' (P14): dunque 

 \dz'\ è maggior che \dy'\ (P13), dunque maggior che \dc\ (P4§5): laddove po- 

 c'anzi si asseriva il contrario. — Abbiamo ancor da supporre y' allineato con d 

 e con x'. In tale ipotesi, esso dovrà coincider con i, o col simmetrico d'i rispetto 

 a x'. Nel secondo caso verrebbe \dy'\ maggiore per certo a \dx'\; e però come 

 dianzi \dy'\ > \dc\: nel primo caso \dy'\ è congruente a Idei; ma ne risulterebbe 

 ugualmente \dz'\ > \dy'\, e p. cons. \dz'\ > \dc\. — - Resta che \x'iì sia maggiore 

 di \x'a\. Ma noi porremo in luogo di i un punto j scelto a piacere nell'inter- 

 vallo ch'è fra i punti x' ed a, e così troveremo di nuovo un punto y, comune 

 ai due cerchi j x < ed a e , oltre che interno all' angolo é . ax' ; onde la somma | dy' \ 

 più |a:'/! sarà maggior che \dz'\, e quindi anche maggior della somma \dc\ più 

 \x'i\. Ora, per ciò che \x'i\ > \x'j\ (P4 § 5), ne risulta la somma | dy' \ più | x'i \ 

 maggior della somma \dc\ più \x'i\; e però \dy'\>\dc\ come prima. Dunque si 

 urta qui pure nelle stesse incompatibilità che abbiamo incontrato poc'anzi sotto 

 l'ipotesi | x'i | < | x'a |.] 



