3 SOPEA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 83 



stanze prima considerate dipendono solo dalle proprietà della curva nell'intorno di 0, 

 determinando per quella particolare curva il grado di molteplicità della coinci- 

 denza 0, otterremo un numero che esprime il grado di molteplicità che desideravamo 

 in generale. 



HI. 



Notazioni. — Raccogliamo qui le notazioni che saranno più spesso usate ; altre 

 ne introdurremo nel seguito. Denoteremo con: 

 r la dimensione dello spazio ambiente, 

 n l'ordine della curva oggettiva, 

 Hi l'i-esimo rango (» = 1, . . ., r — 2), 

 m la classe, 



d il numero dei punti doppi (nodi), 

 p il numero delle cuspidi, 



p, il numero degli S ; stazionari (i = 1, . . ., r — 1), 

 h il numero dei punti doppi apparenti, 

 p il genere della curva. 



PARTE PRIMA 

 § 1. — Sopra certe rigate costituite da corde della curva. 



1 . — Ordine della rigata luogo delle corde ognuna delle quali giace nell' iperpiano 

 osculatore in uno dei due punti d'appoggio. 



Seghiamo la M 3 delle corde della curva C con un S r _ 2 generico, e sia V la curva 

 che ivi otteniamo come sezione. 



Fra i punti di T consideriamo una corrispondenza così definita : Dato un punto 

 A di T si tirino per quello gli m iperpiani osculatori a C e per ciascuno dei loro 

 punti d'osculazione tiriamo le n — 1 corde di C appoggiate a V ; i punti d'appoggio 

 su T di queste corde li chiameremo punti A' omologhi di A. Dato un punto A' di 

 T, siccome questa curva è di ordine h, avremo 2/i punti A, omologhi di quello, e 

 questi punti costituiranno la completa intersezione di T con una forma (quadratica) 

 del suo spazio. 



Dunque la corrispondenza è dotata di valenza ( Werthigkeit) nulla, e, per il prin- 

 cipio di corrispondenza di Cayley e Brill, sono 2h-\-m{n — l) le sue coincidenze. 

 E si hanno: 



a) Nei punti ove V è incontrata dalle x generatrici della rigata di cui si 

 cerca l'ordine. 



b) Nei punti in cui V è incontrata dalle n v tangenti di C appoggiate ad essa. 

 e) Nei punti in cui T è incontrata dai piani osculatori a C nelle p cuspidi ( l ). 



(*) Questi piani osculatori fan parte della M 3 delle corde come sostegni dei fasci di rette aventi 

 per centri le cuspidi; tutte le rette di quei fasci sono corde improprie di C. Cfr. Levi Beppo, Sulla 

 varietà delle corde di una curva algebrica (" Memorie della R. Acc. di Torino „ (2), t. 48, 1898). 



