Ь Н. Н. САЛТЫКОВЪ. 



Однако, въ силу тождествъ (8), первая сумма правой части последнего равенства тожде- 

 ственно равна нулю; такъ какъ, дал-Ье, интегралы (3) находятся въ инволющи, то каждое 

 слагаемое второй суммы также равно нулю. Поэтому получаемъ тождества 



<&, Я) = о, 



для всЬхъ значешй г, отъ 1 до #, и всЪхъ значенш 1с, отъ 1 до и — ^, т. е. Функщи (6 ) 

 представляютъ интегралы системы уравненш (2). 



Итакъ, полная система интеграловъ уравненш (2) представляется интегралами (3) 

 и (6). Переходимъ къ разсмотр^шю ихъ свойствъ. 



Во-первыхъ, согласно съ услов^емъ, интегралы (3) находятся въ инволющи. 



Во-вторыхъ, легко доказать, что каждый интегралъ Р к находится въ инволющи съ 

 каждымъ изъ интеграловъ ( г , значекъ котораго § отличенъ отъ д.-ь-Ъ; съ интеграломъ( ^ и 

 интегралъ Р к находится въ союзть, т. е. скобки Пуассона (? дч _ к , Р к ) тождественно 

 равны единицгь. 



Въ-третьихъ, всгь интегралы Р к находятся между собой въ инволющи. 



Убедиться въ справедливости послъ\днихъ двухъ свойствъ разсматриваемыхъ инте- 

 граловъ весьма легко, при помощи непосредственнаго вычислешя скобокъ Пуассона. 



Действительно, мы им'Ьемъ 



1/ ?н _ г5 V - ^ ф да к дх 5 л^ да к да: У1 я-*-*' ' ч-*-]'' 



Такъ какъ интегралы (3) находятся въ инволющи, то каждое слагаемое второй суммы 

 правой части послт,дняго равенства обращается въ нуль. Что же касается первой суммы, 

 то ея значеше легко вычислить на основаши слт>дующихъ соображевШ: 

 Существуетъ рядъ сл'Ьдуюшихъ тождествъ 



' дГ дГ дГ\ 



Тд+г №. х 2т • • ж «. дХх > д ^— дХп ) — а п 



г = 1, 2,. . . п — ^. 

 Дифференцируя ихъ по а к , получаемъ новыя тождества 



-Й *« дх ' да * \1, г = к, { 

 г = 1, 2,. ..л — д_, 



