О РАЗВИТ1И ТЕ0Р1Ж УРАВН. СЪ ЧАСТИ. ПРОИЗВОДИ. ПЕРВ. ПОРЯДКА ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНЕЩИ. 1 1 



Эти уравнения представляютъ интегральную систему уравненшвъполныхъдиФФеренщалахъ, 

 соотв'втствующихъ линейнымъ уравнешямъ (7). Последняя система уравнений въ полныхъ 

 диФФеренщ'алахъ совместно съ уравнешемъ 



^==^р 5 4х 5 (10) 



представляетъ диффсренцгальныя уравненгя характеристикъ нормальной системы (8). 



Въ виду того что Ф 4 представляютъ Функцш интеграловъ (5), то, на основанш урав- 

 ненш (9), постоянный С к выражаются черезъ все а, т. е. между последними и С к суще- 

 ствуетъ п — р — р зависимостей. Поэтому, по отношенш къ нормальной системе (8), где 

 а г , а 2 ,.... «_„, С г , С 2 ,.... С п _, } _ разсматриваются какъ коэффициенты, система 

 уравненш (9) заключаетъ всего" только 2р величинъ, которыя мы можемъ разсматривать 

 какъ произвольный постоянный величины. 



Чтобы остановиться на чемъ либо определенному предпрложимъ, что линейныя урав- 



нен1я (4), ми равнозначный съ ними уравнетя (7), разрешимы относительно частныхъ 



производныхъ 



^ ^ <У 



<Ц' дх 2 ' ' ^и_р' 



т. е. уравнешя (8) разрешаются относительно нерем'Бнныхъ 



Рг, Л,-;-- Рп-р- 



Въ такомъ случае очевидно, что уравнешя (9) разрешаются относительно посл-бднихъ 

 перем'Бнныхъ и еще сл'Ьдующихъ 



Х п — р_»-1 » Х п— р-+-2' - ' * * Ж И' Рп— рЧ-1' Рп— р-1-2 ' * • ' - Рп' 



Пусть значешя всбхъ этихъ перем'Бнныхъ определяются изъ уравнешй (9) следующимъ 

 образомъ 



х 



п — р-ьг 



= <р> 15 ж 2 , .... х п _ 9 , а х ,а 2 ,.... а п ^ ? _ д ), 



Р 5 =$А Х 1, х »---- х п- 9 > а » а *>----%- + ?-д)Л О- 



г= 1, 2, р, з =1,2,.... п. 



Известно, что, въ силу уравнений (11), выражение (10) обращается въ точный диФФерен- 

 щалъ 1 ). Назовемъ его интегралъ черезъ 



= <р (»!,«,, х п _ р , а„а„ %+ р -д) -+- в, (12) 



где а — новая произвольная постоянная. 



1) Ср. Н. Н. Салтыковъ — Объинтегрированги уравнетй съ частными производными перваю порядка одной 

 неизвмстной фужщи, стр. 115 — 117. 



2* 



