О РАЗВИТ1И ТЕ0Р1И УРАВН. СЪ ЧАСТИ. ПРОИЗВОДИ. ПЕРВ. ПОРЯДКА ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦ1И. 29 



то интегрированге уравненш (1) и (2) приводится къ разыстнгю, при помощи квадра- 

 туры, функщй II и къ операцгямъ дифференцировангя. 



Основываясь на р'Ьшенш задачи ПфаФФа, С. Ли убеждается, что среди всЬхъ 

 2 (п -+- р) Функщй { и Р х находится всего 2и независимыхъ между собой, и Формулируетъ 

 доказательство своего предложешя въ трехъ леммахъ. 



Разсматривая переменный х х , х 2 ,. . . х п , р г , р 2 ,. . . р п какъ Функщй новыхъ пере- 

 менныхъ /^ {%,. . . р п и параыетровъ и х , щ, . . . и п _ , С. Ли выводитъ выражения Функ- 

 щй Р , въ этихъ новыхъ переменныхъ, въ сл-вдующемъ виде 



'■— в-^АТЙ 1 ' (5) 



при чемъ Функщя II определяется при помощи квадратуры. 



Зат4мъ вычисляются скобки Пуассона между Функщями ( я и Р с , а также скобки 

 Вей л ера между Функщями /^иг — II. Выражешя этпхъ скобокъ показываютъ, что среди 

 2(*гн-р) — з Функщй /",,/;,... 4н- Р > Р дч _ г , Р д ^,. ■ . Р п + р находится полная система 

 2п — ^ различныхъ интеграловъ уравненш (2). 



Таково, въ общихъ чертахъ, доказательство С. Ли его предложетя. 



Въ 1903 году 1 ), при решети задачи С. Ли, я видоизм'Ьнилъ разематриваемую тео- 

 рему сл'Бдующимъ образомъ. Вместо равенства (4), я ограничился раземотрешемъ обыч- 

 наго въ теорш частныхъ уравненш выражения 



Я»==^Р а ** в , (6) 



<Г=1 



предположивъ, что последнее обращается въ точный диФФеренщалъ, въ силу уравненш, 

 который получаются, если приравнять Функщй (3) соответственно постояннымъ величинамъ 

 а 1 , а 2 ,... а п а ). Предположимъ, что последшя уравнешя разрешимы относительно пере- 

 менныхъ х п _ 1 , х п _ ,. . . х п , р 1 , р аг . . . р п и определяютъ значешя переменныхъ 

 х п _ к въ виде Фупкщй <р д остальныхъ переменныхъ х х , ж 2 ,. . . х п и всехъ постоян- 

 ныхъ а 3 . Если точный диФФеренщалъ (6) определяетъ г въ виде Функщй ср техъ же но- 

 следнихъ величинъ, то въ такомъ случае Функщй (5) заменяются новыми Функщями, ко- 

 торый легко представить въ следующемъ видв 



-( 



(7) 



да, 



1) Сотр1е8 гепдмв, 24 аойк 1903. 



2) Ясно, что въ такомъ случае въ правой части равенства (4) остается одинъ только членъ йТ1. 



