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 le voir dans le premier volume et dans le quatrieme, un grand nombre de 

 consequences qui interessent la theorie des nombres. J'ajoute que de cette 

 meme proposition combinee avec le theoreme de Fermat, suivant lequel tout 

 nombre premier p divise la difference oc^ — ^, on pent immediatement 

 deduire le theoreme general dont voici I'enonce. 



» Theoreme. Soient 



» y?, q deux nombres premiers, 



» 6 une racine primitive de I'equation 

 {.) 6f=u 



on, ce qui revient au meme, une racine de 

 (9,) i-^Q -i-Q^.\-,,,-^.QP-* = o, 



et B une fonction entiere de 5, a coefficients entiers, toujours evidemment 

 reductible, en vertu de la formule (2), au degre p — 'i, Soit encore n le 

 nombre des valeurs distinctes que la fonction pent acquerir, quand on 

 remplace la racine primitive B par une autre ; nommons 



e., 62,..., e„ 



ces valeurs de 8, et posons 



(3) f(^-)=('^-eO(-=^-e,)...(^-e„); 



enfin soit H le produit des carres des differences entre les quantites 0,, 

 Bj, . . . , B„, determine par la formule 



(4) H=(~i)^^-V^f'(B,)f'(B,),...,r(BJ. 



Si 7 est superieur a n, premier a H, et diviseur (*) du binome 



(5) . B^-B, 

 I'equivalence du degre n 



(^) f(^) = o, (mod. 7) 



aura n racines inegales et distinctes. 

 » Demonstration. Si Ton pose 



^[oc,id) = [x ~ (d) [x - X - <d). . .(x - q + I - B), 

 on aura, dansl'hypothese admise, pour toute valeur entiere de x, 



<p(^,B)=9Q, 



(*) Le binome e?_ est une fonction entiere de a coefficients entiers, et .y est nonimc 

 diviseur de cette fonction, lorsqu'il divise tons les coefficients dans cette fonction rednite a« 



