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 ijiique. Ramenee a ces termes, la question pent se resoudre par la seule 

 inspection des signes dont se trouvent affectees, quand on les reduit en 

 nombres, certaines fonctions des coefficients. Elle n'etait pas resoliie par la 

 regie de Descartes, qui, se bornant a considerer les coefficients eux-memesy 

 foiuMiit seulement une limite snperieure an n ombre des racines reelles de 

 chaque espece; et quant aux autres methodes proposees pour cet objet 

 dans les siecles precedents, Lagrange a observe qu'elles etaient ou insuffi- 

 santesou impraticables(*). Mais cette lacune, signalee par Lagrange en 1808, 

 a ete comblee, et Ton connait aujourd'hui diverses solutions du probleme. 

 f^a premiere de ces solutions est celle que j'ai donnee dans un Memoirc 

 presente a I'lnstitut, dans la seance du 17 mai 1812. Plus tard, la question 

 a ete reprise par M. Sturm, qui I'a rattachee a la recherche du plus grand 

 comrnun divisenr entre les premiers membres d'une equation algebrique 

 et de I'equation derivee; plus tard encore elle a ete de nouveau traitee, soit 

 par moi~meme, soit par d'autres auteurs, specialement par MM. Sylvester, 

 Hermite et Faade Bruno; et Ton est arrive a cette conclusion remarquable, 

 que le nombre des racines reelles pent etre fourni par I'appHcation de h« 

 regie de Descartes aux seules quantites qui dans lequation des differences- 

 servent de coefficients aux puissances de I'inconnue dont les degres soiit les 

 nombres trianguiaires. 



» Mais les equations auxqoelles on est conduit dans les applications de 

 I'analyse a la mecanique, a la physique, a Tastronomie, ne sont pas tou- 

 jours algebriques ; elles peuvent etre, elles sont souvent transcendantes, et 

 souvent aussi les racines imaginaiires de ces equations algebriques on 

 transcendantes jouent un grand role dans la solution des ptoblemes. H 

 etait done important d'etabUr des principes generauxpour ledenombreiiKiit 

 et la separation des racines reelles ou imaginaires dans les equations alge- 

 briques ou transcendantes. C'est ce que j'ai fait dans le Memoire litliogra- 

 phie du 27 novembre i83i, et dans quelques auJres, specialement dans un 

 Memoire que renferme le tome XL des Comptes rendus. Dans ce dernier 

 Memoire, le denombrement des racines qui representent les affixes de 

 points renfermes dans un contour donne a ete reduit a la determination de 

 ia quantite que je nomme le compleur logaritlimiqiie. D'ailleurs cette deter- 

 mination pent etre aisement effectuee a I'aide des formuies que fournit le 

 calculdes indices des fo)ictionSy quand, I'equation proposee etant algebrique. 



(*) Fair ie Traftc d- la reaohaion des ecfnaliom; numer\qne<s^ par Lagrange, etlitiof* 



