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u En resuiiit', Ton pent enoncer la proposition siiivaiite : 



.. Theoreine. L'equaUou (i) offre uae infinite de racines iiiiaginaires et 



de la forme .r -hfi. Parmi ces racines conjiiguees deux a deux, une seule 



au plus de celles qui repondent a des valeurs positives de r offre une 



partie reelle x comprise entre les limiles k?: ? kn + ~^ k etant une 



quantite entiere; et meme Tequation n'admet une telle raciiic que dans le 

 cas ou la valeur numerique de A' est un nombre pair. D'ailleurs, dans cette 

 meme racine, le coefficientj^ de i est superieur a la racine positive unique S 

 de I'equation (i^), et inferieur a la racine positive unique 7 de I'equa- 

 tion(j9). 



» En appliquant les formules du paragraphe I^"" non plus a I'equa- 

 tion (i), mais a Tequation (3), on s'assurera : I'^que cette equation offre une 

 nifmite de racines reelles dont une seule est comprise entre deux termes 

 conseculifs de la progression (6); 1° quelle offre seulement, comme I'a re- 

 connn M. Serret, deux racines imaginaires conjuguees Tune a I'autre, et 

 (pic, dans cliacune de ces deux racines, la partie reelle est renfermee entre 

 les deux termes de la progression qui comprennent entre eux le nombre T. » 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Suv la resolution des equations algebriques; 

 par M. AuGCSTLV Cauchy. 



<( J'ai, il y a vingt ans, adresse a I'Academie plusieurs Memoires sur la 

 resolution des equations algebriques. lAui de ces Memoires, public dausle 

 tome IV des Comptes rendus, venhvme divers theoremes qui paraissent 

 dignes de quelque attention, entre autres le suivant. 



» i^"" Theoreme. Lorsqu'une equation a toutes ses racines reelles et ine- 

 gales, on pent obtenir chacune de ces -racines developpee en serie conver- 

 gente. 



» D'autre part, en suivant diverses methodes que j'ai developpees dans 

 le IV« volume des Exercices de Matliematiques, et dont I'une a ete indiquee 

 ])ar Lagrange, on j)eut etablir encore le theoreme dont voici I'enonce. 



« A^ Theorcinc. n variables etant assujetties a cette condition que leurs 

 Carres donnent pour somme I'unite, Fequalion du degre n qui determine' 

 jes maxima et minima d'une fonction de ces variables, entiere, homogene 

 v\ du second degre, a toutes ses racines reelles. 



» Enfin, aux deux iheoremes qui precedent, on peut joindre le suivant. 



» 3^ Theoreme. Une fonction rationnelle de Tune quelconque des racines 

 dune equation algebrique du degre n peut etre generalement reduite a une 

 fonction entiere de la meme racine du degre n — i. 



