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 cieiits que renfeniK; la fonction F (a, S,. ..,/?, S), et les valeurs qu'acquer- 

 laient dans ces cas exceptionnels les racines de Teqiiation (5) seraient 

 certainement des liniites vers lesqiielles convergeraient des valeurs tres- 

 voisines qii'on obtiendrait en alterant tres-peu line on plnsieiirs des valeurs 

 particulieres attribuees aux divers coefficients. Ces valeurs voisines etant 

 reelles, leurs limites seraient necessairement reelles; d'ou il lesulte que, 

 meme dans les cas exceptionnels, I'equation (5) n'admcttra point de racines 

 imaginaires. Ainsi la formule {ii) entraine la proposition qui a ete rappelee 

 a la page a68, et que Ton pent enoncer comme il suit : 



» 1*^' Theorems n variables etant assujetties a cette condition, que la 

 somme de leurs carres soit runite, Tequation du degre ii qui determine les 

 niaxiiua et les minima d'une Conction quadratique homogene et reelle (1(> 



alemcnt inegales, et 

 e meme valeur de j 



fonction F(a, §,..., yj,^) 

 .duira Feliniination de j 



■ abord quelle 

 servira uniquement a determiner un des coefficients renfermes dans F(a, 

 €,..., yj, 9) quandon connaitra tons les aulres. Mais il n'en est pas ainsi. 

 Effectivement, lorsqu'une meme valeur de j verifiera les formules (5) et 

 (^9), I'equation (^S) donnera 



(3!) a--h§'H-. .. + yj2-l- 6'^ = o, 



et entrainera necessairement avec elle les conditions (28). Il y a plus : ces 

 conditions devront encore etre verifiees lorsque, dans les formules (8), on 

 supposera la fonction Q. determinee, non plus par I'equation (9), mais par 

 I'une de celles qu'on en deduit a Faide d'echanges operes entre les clefs a, 

 o,..., 5, yj. En consequence, on pent enoncer la proposition suivante : 



» 1" Tfworeme. Pour qu'une racine j de I'equation (5) soit une racine 

 double ou multiple, il est necessaire que cette racine verifie chacune des 

 equations (28), les valeurs de a, §, . . . , V;, 5 etant determinees par les for- 

 mules (8) jointes ou a I'equation (9), ou a I'une de celles qu'on en deduit 



ITS variables, a toutes ses racines reelles. 

 .. . Les n racines r/"elles de ['equation (5) 



1 serontger 



ne pourront cesser d'etre inegales que dam 

 verifiera simultanemeht cette equation et s; 



s le cas oil 

 a derivee 



(29) D,r=o 





Dans c<> cas particulier, les coefficients que 1 

 devront satisfaire a I'equation de condilior 

 entre les formules ( 5 ) et ( 29 ). Soit 



•enferme la 

 1 que prod 



(3o) K = o 





cette equation de condition. On pourrait < 



::roire an ] 



