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 quand on echange entre elles les clefs a, €,..., yj, B. Par suite, pour qu'uue 

 racine reelle de I'equation (5) soit double ou multiple, il est necessaire qu'elle 

 soit commune a cette equation et a toutes celles qu'on en deduit, qu^nd on 

 remplace la fonction F (a, g, . . . , yj, ^) par une des fonctions 

 F(o, g,...,y5, 0), F(a, o,.,,,yj,^i,..., F(a, €,..., o, 0), F(a, g,..., y,, o). 

 M Observons encore qu'en vertu de la formule (^S) la derivee du rap- 

 port -, prise par rapport a a, sera toujours positive quand elle ne sera pas 

 nullc. Done, pour des valeurs croissantes de j, ce rapport croitra sans cesse, 

 lant qu'il conservera une valeur finie; et, quand il changera de signe avec 

 Y en passant par zero, la valeur de a devra etre positive si Y passe du ue- 

 gatif au positif, elle devra etre negative si Y passe du positif au negatif. Si 



(3.) Jo/.,..., J«-n J«, 



Ics racines de I'equation (5) rangees par ordre de grandeur, de maniere 

 qu'elles formeut une suite croissante, et si Ton fait croitre j par degres 

 insensibles depiiis une limite inferieure a j\ jusqu'a une limite superieure 

 a j„, Fne changera de signe qu'au moment ou F acquerra une valeur re- 

 presentee par I'un des deux termes de la suite (3a), et a deux termes conse- 

 cutifs de cette suite correspondi'ont deux chang^ments de signe de la fonc- 

 tion Y en sens opposes, par consequent deux valeurs de a, dont Tune sera 

 positive, I'autre negative. Done, si Ton nomme 



(33) «„«„...,«„_„«„ 

 les valeurs de a correspondantes aux racines 



Jo J-2,..., J«-,,J« 



de I'equation (5), deux termes consecutifs de la suite (33) seront toujours 

 deux quantites affectees de signes|contraires. En consequence, deux termes 

 consecutifs de la suite (32) comprendront toujours entre eux Tune des 

 n ~ I racines de I'equation 



(34) a = o, 



et reciproquement deux racines consecutives de I'equation (34) compren- 

 dront toujours entre elles un terme de la suite (32). D'ailleurs, comme o»i 

 I'a remarque, a, dans I'equation (34), sera ce que devient Florsque dans la. 

 fonction F(a, g, . . ., vj, 5) on pose a = o. On pent done enoncer la pro- 

 position suivante : 



