( 407 ) 

 iion-seiilemenl a la decomposition des fonctions rationnelles et a la deter- 

 mination des integrales definies, mais encore a I'lntegration des equations 

 differentielles ou aux derivees partielles, el a la solution d'un grand nombre 

 de problemes, specialement de ceux que presente la physique mathema- 

 tiqiie. Toutefois la definition que J'avais d'abord donnee du reiidu partiei 

 on integral d'une fonction laissait quelque chose a desirer. A la verite, 

 cette definition etait analogue a celle que Lagrange a donnee de la fonc 

 lion derivee; et de meme que, suivant Lagrange, la deriuee (Wme fonction j 

 de X est le coefficient de la premiere puissance d'un accroissement £ attri- 

 bue a la variable x^ dans le deveioppement de I'accroissement correspon- 

 dant de 7 suivant les spuissances ascendantes de £, j'appelais resida pailitl 

 de la fonction j, relatif a une valeur pour laquelle cette fonction devenau 

 inhnie, le coefficient de £"' dans le deveioppement de la variation de j- sui- 



» iMais les detinitious precedentes de la derivee d'une fonction et de son 

 residu partiel relatif a une valeur donnee de la variable s'appuient sur la 

 consideration des developpements en series; et, coinme je I'ai remarque dans 

 Wltudyse algebvique, il convient d'eviter I'emploi des series dont la conver- 

 gence n'est pas assuree. On y p;nvient dans le calcitt inJinUesimal, en substi- 

 tnant a la definition de Lagrange la notion claire et precise du rapport 

 difffircntiel de deux quantites variables, et en desigiiant sous ce nom la 

 limite vers laquelle converge le rapport entre les variations infiniment pe- 

 tites et correspondantes de ces deux quantites. 



»' II etait a desirer qu'on put aussi appuyer le calcul des residus sur une 

 notion claire, precise et facile a saisir, qui fut independante de la conside- 

 ration des series. Apres y avoir inurement reflechi, j'ai reconnu que les 

 principesetablis, d'une part dans mon Memoire de 18^5 snr les integrales 

 prises entre des limites imaqinaires et dans le Memoire lithographic du 27 no- 

 vembre i83i, d'autre part dans les Memoires que j'ai publics sur les fonc- 

 tions monodromes et monogenes, permettraieut d'atteindre ce but. C'est ce 

 que je vais expliquer en pen de mots. 



" Supposons qu'un point mobile dont Taffixe est z, se ineuve dans I'ui- 



le dernier cas, en decrivant ce contour, il louine autour de faire S dans 1. 

 sens indique par la rotation d'une affixe dont I'argument croit avec It- 

 t^uq)s. Soit d'ailleurs Z une fonction de laffixe z, qui reste nionodroniechus 

 toute I'etendue de I'aire, et conserve une valeur finie en chaque })Ouit du 

 contour. Enfiu, le cot>tour etant partage en elements Ires-petits, multiplions 



