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ANALYSE MATHEMATlQUE. — Note sur requalioii dont depend t'anomalie 

 excentrique, dans la tlieorie du moiwement elliptique des planeles ; 

 par M. J. -A. Serret. 



<c Dans une Note qui fait partie du tome XLII des Comptes rendus de 

 I'Academie (seance du 9 juin i856), j'ai indique un procede tres-simple 

 pour trouver la condition de convergence des series qui se presentent dans 

 la theorie du mouvement elliptique des planetes; je rappellerai ici le re- 

 sultat qui se trouve consigne dans la Note dont je viens de parler. Soient £ 

 rexceutricite, C I'anomalie moyenne, et u I'anomalie excentrique; on a, 

 comme on sait, I'equation 



(1) M— £sinM=:C; 



cela pose, j'ai etabli que I'anomalie moyenne, ranomalie vraie et le rayon 

 vecteur sont developpables en series convergentes ordonnees suivant les 

 puissances croissantes de Texcentricite s, tant que cette excentricite reste 

 inferieure a la quantite \/^^y^~^'^ e designe la base des logarithmes ne- 

 periens, et/ est le coefficient de ^--^ dans celle des racines imaginaires 

 u = jo-\-j\/~ I de I'equation 



(2) ?/-tang« = r, 

 pour laquelle ce coefficient a la plus grande valeur. 



» Ce resultat remarquable m'a conduit a etudier les racines de I'equa- 

 tion [1), et j'ai moiitre, dans un deuxieme article (seance du 16 juin i856), 

 que cette equation (2), qui a une infinite de racines reelles, admet seule- 

 ment deux racines iraaginaires, lesquelles sont conjuguees I'une de I'autre. 



» M. Cauchy vient de presenter a I'Academie (seance du 16 fevrier 1857) 

 un M^moire sur le denombrement et la separation des racines imaginaires des 

 equations transcendantes ; il a fait I'application de son analyse aux equations 

 (i) et (2) ou les constantes s et ^ sont supposees reelles, et a I'egard de cette 

 derniere, il a retrouve le resultat que j'avais obtenu. Le procede tres-elemen- 

 taire dont j'ai fait usage dansl'article mentionne plus haut, pent etre appli- 

 que avec succesa I'etude des racines de I'equation (1), et il conduit, par la 

 ^oie la plus simple, aux consequences que M. Cauchy a deduites de sa sa- 

 vante methode; c'est ce que je me propose de montrer dans cette Note. 



» Comme on passe du cas de £ negative au cas de s positive en cban- 

 geant ^ en ^ H- t:, et en prenant u — n pour variable au lieu de u, nous 



