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 et faisons croitre cette variable de 2 At: — a a 2 (A -h 1)71 — a, A designant 

 un entier arbitraire; la fonction V definie par I'equation (3) est decrois- 

 sante dans rinlervalle de ikn — a a 2^7: 4- a, car sa derivee— = i — — — 



est negative; an contraire, elle devient croissante dans Tintervalle de 

 ikn + ak i(k+ i)?: — a. L'equation (r) ne pent done avoir qii'une seule 

 racineentre aA'Tr — aet 2 ArrH-a, etuneseule entre 2A"7r4-aet 2(A+ 1)71 — a; 

 pour qu'il y ait effectivement iine racine dans le premier intervalle, il faiit 

 que k ne soit pas inferieur a "^°'~*^"^" , et qu'il ne soil pas superieur a 



"^ ^^ ^^^ ; pareillemcnt, pour qu'il y ait une racine dans le deuxieme 



intervalle, il faut que k ne soit pas superieur a ^ — "-^^^"g^' ^^ q^^-j ,^g g^j^ ^^^ 



inferieur a "^tt ^"^"^ ~ '* ^" P®"*^ conclure de la que l'equation (r) 



admet un nombre impair 2/2 + 1 de racines reelles, nombre qui pent se 

 reduire a I'unite; ajoutons que deux de ces 27/ -f- i racines deviendront 

 egales entre elles, si I'une des quantites ^-^^^tangg^ ^ + a-tanga ^^ ^^^^^.^ 

 a un nombre entier. 



w Supposons maintenant que u designe une variable imaginaire, 

 j:-4-j-y/— I ; la valeur de j etant determihee par l'equation (5), celle 

 de V sera donnee par l'equation (6). Pour que la valeur de f soit reelle, 

 il faut que cosj: soit posilif et inferieur a cos a; si done on pose l'equa- 

 tion (7), ^ devra rester compris entre — - et — a ou entre + a et + -• 

 D'apres l'equation (10), la derivee— n'est jamais positive, et elle reste 

 finie, sauf pour les valeurs ^ = ±1 a; il s'ensuit que V decroit quand on fait 

 croitre ^ de — ^ a — a ou de + a a + - ; on a d'ailleurs simultanement, 



^=-V r = ^. V = H-oo, 



g= — a, jr = o, V = 2 Att — a + tanga — ^, 



| = -ha, J = o, v = aATT+a - tanga-C, 



^ = + 2' J-=^'=^, V=-oo. 



Si done 2 Att — a -+- tanga — ^ est negative, la fonction V s'annule 



C. R. 1857, i*' Semeslre. (T. XLIV, No 9.) 64 



