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 I' line les puissances a'*, I'autre les puissances t 



inix-a') = Y + Zs/±.p, 



2 n (.r -^ a'') = Y - Z v'lt p, 



en affectant p, sous le radical, du signe H- ou du signe — , suivant que p 

 est de la forme 4/2+1 ou de la forme 4 w — i , le signe 11 indiquant a 

 I'ordinaire un produit. Y et Z seront des polynomes a coefficients entiers; le 



premier Y, de degre et commencant par le terme ix ^ ; le second Z, 



de degre inferieur. On aura 



4X = Y=^qipZ^ 

 I'equation X = o se decomposera done en ces deux-ci : 

 Y + Z V ±7 =0? Y - Z s/±~p = o. 

 Ce beau theoreme est du a Gauss. 



M Pour qu'il n'y ait rien d'indecis relativement a nos notations, je prendrai 

 la valeur de \/p toujours positiveraent, et j'entendrai par \/— p le produit 

 \ip v— 1- Cela pose, je me hasarde a dire, apres Gauss, Legendre, etc., 

 quelques mots a mon tour sur les moyens que Ton pent employer pour de- 

 terminer les deux polynomes Y et Z, ou, ce qui revient au meme, le po- 

 lynome unique 



U = Y -f- Z \/'±p, ou Y = Y - Z v/±7 



» En designantpar U'laderivee ^ de U, et de meme par X' la derivee 

 de X, et en representant par ip (:r) un certain polynome a coefficients en- 

 tiers dont j'ecrirai plus has la valeur, je trouve que I'on a 



U X 



Or I'equation X = o n'ayant pas de racines egales, I'equation V = o n en 

 a pas non plus. La fraction 



u 

 est done irreductible, et on devra I'obtenir en reduisant a sa plus simple 



