( 85o ) 

 La variable auxiliaire 5 qui a ete transitoirement introduite dans le calcul, 

 mais qui a fini par disparaitre et que ne renferme plus la formula (i), a servi a 

 recjter la repartition operee des divers termes de la serie multiple enlre les di- 

 vers groupes, par consequent entre les divers termes 'de la serie simple : et 

 c'est pour ce motif que nous donnons a cette variable le nom de regulaleur. 



» Au reste, pour que la forniule (i) subsiste, il n'est pas absolument 

 necessaire que la fonction des variables x, /, z,.-.» representee par co, soil 

 monodrome, monogene et finie par rapport a chacuue d'elles, pour tous les 

 modules inferieurs a ceux que Ton assigne a la variable, et Ton peut evi- 

 demment enoncer la proposition suivante : 



» i' Tfieoreme. Pour qu'un regulateur 6 permette de developper unc 

 fonction w en une serie simple, il suffit que I'introduction de ce regulateur 

 dans la fonction donnee la transforme en une fonction de 6 qui reste mono, 

 drome, monogene et finie pour tout module de 6 inferieur a I'unite. 



» II pourra d'ailleurs arriver que le developpement fourni par I'introduc- 

 Hon du regulateur reste convergent dans des cas oii le developpement or- 

 donne suivant les puissances ascendantes d'une variable x, ou j, ou z,.., 

 deviendrait divergent. 



» La formule (i) continuerait evidemmenl de subsister sous la condition 

 indiquee par le 2* theoreme, si la fonction donnee « renfermait avec les va- 

 riables jf, jr, z,..., divers parametres a, S, 7vr. et si le regulateur 6 etait 

 introduit dans la fonction comme multiplicateur, non plus des variables x, 

 J, z,..., mais des parametres a, §, 7,.--r «" ^^ quelques-uns ^'^"^''^^jl"!'^^ 

 Il y a plus : on peut considerer comme regulateur toute variable auxi laiie 

 que I'on introduit dans une fonction w, en assujettissant cette varia e a a 

 seule condition que la fonction reprenne, pour $ == i, la valeur assigi e^^ 

 Le choix a faire de ce regulateur merite une attention speciale, puisque e ce 

 choix dependent tout a la fois et I'existence de la formule (i), et la conj-* J" 

 gence plus ou moins rapide de la serie qui represente dans cette tormule 

 developpement de w. ,. ^ 



« L'intervention des regulateurs et de la formule (i) peut etre ^m'i^^^^ 

 avec succes a la determination des fonctions implicites aussi bien qu a c 

 des fonctions explicites. . ■ 



» Effectivement, considerons une ou plusieurs inconnues ^'^'^^''^^^^^ 

 verifier ou des equations finies, ou des equations differentielles ^^"'^^^^,^^j^.. 

 meme des equations aux derivees partielles. Ces inconnues seront ^*^" '^^_^ 

 ment des fonctions des variables et des parametres renfermes dans ^'' * ^^ 

 tions dont il s'agit. Si d'ailleurs on ne peut arriver a obtenir les vaiei 



