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 pour lequel leurs variations seraient negatives. II n'y a de possibles que 

 lesdeplacemenls qui font croitre tons les U on qui ne les font pas du tout 

 varier, ce qui etab!ira entre ces depJacements des relations exprimees par 

 des inegalites dont aucunen'excIural'equation.Pourabreger, nous nepren- 

 drons en consideration qu'une seuie des fonctions U, U,, Ua,--, par exein- 

 ple ]a premiere; ce que nous en dirons s'appliquera aux autres. 



» Au boutd'un temps quelconqiie t^ attribuons au systeme uu deplate- 

 fnent ideal, par lequel ces differents points parcourraient les espaces Ae, 

 As', As",.-, infiniment petits et du reste absolument arbitraires tant en 

 grandeurs qu'en directions; la quantite U dependant de la position du sys- 

 teme variera necessairement par ce deplacement et deviendra IJ -+- AV-^. . . . 

 L'increment AU +,.. sera arbitraire comme les variations Ae, et ne pent 

 etrelimite qu'en restreignant ces variations. Ainsi, si Ton ne donne aux As 

 que les valeurs qui se rapportent aux deplacements possibles, c'est-a-dire 

 perniis par les obstacles, la quantite U ne pouvant alors qu'augmenter ou 

 denieurer invariable, nous aurons 



AUh-... >o, 

 ou bien, en rejetant les infiniment petits des ordres superieurs, 



AU > o. 

 L'inegalile precedente n'exclut point I'equation, car la quantite L pent 

 aiissi conserver sa valeur pour les deplacements possibles. 



'> Restituons aux deplacements As, As', As",..., les valeurs et les direc- 

 tions absolument arbitraires, puis decomposons ces deplacements en ceux 

 que le systeme recoit en effet pendant I'instant dt, et en d'autres que nous 

 (lesignerons respectivement par (?s, c^s', oV,.... En representant par p, i>', 

 *'",•..., les vitesses des differents points du systeme a la fin du temps ^, et ne 

 retenant que les infiniment petits du premier ordre, les deplacements effec- 

 tifs seront vdt, v'dt, v"dt,.... Designons par ^U le premier terme du chan- 

 gement que U eprouvera par suite de ces deplacements, d\} sera la difte- 

 •entielle de U relative au temps, designons aussi par (?U le premier teriru- 

 de la variation que U subira par les deplacements J^s, oV, (?s",. •, "«"^ •*"' 



AU = rt'UH-c?U. 



<^>oinme les mouvements effectifs pr/^, vidt, v"dt,..., sont visiblement pos- 

 ^'^jJes, la differentielle d\3 sera I'une des valeurs de o^U qui se rapportent 

 '<ux deplacements possibles, et par suite elle aura une valeur positive o\\ se 



