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 toutes les fois qii'on aura attribue aux qiiantites arbitraires (Je, (3's', (?£',.,., 

 des valeurs particulieres qui satisfont aux inegalites 



le cas d'egalite n'etant pas exclus. Une semblable condition doit lier la 

 variation &Y aux variations (?U, t?U,, cJ^Ua,.-? ^t il s'agit de decouvrir la 

 maniere dont la premiere depend des autres. On y parviendra par une 

 consideration empruntee a I'algebre elementaire, comme nous allons le 

 montrer. 



» 2. Designons par p^ un polynome lineaire 



a n variables independantes a:^, jc^^ ^^is,..., jc„, et considerons in polynomes 

 Pu Pi-> Pz^'-'i Pm- Supposons d'abord m-=n. On sait par les elements que 

 si le determinant D, forme de n^ coefficients «, ne se reduit pas a zero, les 

 polynomes p seront susceptibles de recevoir les valeurs absolument arbi- 

 traires, car on satisfera toujours aux equations qui en resulteront entre 

 les variables x. Ainsi D ayant une valeur differente de zero, on pourra 

 considerer les polynomes p comme n variables arbitraires et tout a fait in- 

 dependantes entre elles. Mais si le determinant D s'evanouissait, on demon- 

 tre dans les elements qu'il y aurait alors entre les polynomes dont il s'agit 

 une ou plusieurs relations lineaires, c'est-a-dire de la forme 



\Vk +^^Pi+\Pz + ...XnPn—O, 



dans laquelle les coefficients X ne dependent pas des x. 



» 11 resulte evidemment de ce qu on vient de rappeler que si, d'apres la 

 nature des polynomes /?, on ne pent pas les considerer comme les varia- 

 bles independantes, le determinant forme de leurs coefficients a se reduira 

 a zero ; et, par suite, il y aura necessairement une relation lineaire entre ces 

 polynomes. 

 , » Supposons que le nombre des variables .r, designe par n, soit plus grand 

 que celui des polynomes p^ designe par m; on jugera alors de la depen- 

 dance nuituelle ou de I'independance des polynomes dont il s'agit par les 

 determinants partiels qu'on formera en prenant m^ des coefficients a, snr 

 leur totalite «^, et de maniere que chaque determinant partiel soit forme 

 des coefficients appartenant aux memes m variables x, dans tons les |)0- 

 lynomes p. Si parmi les determinants partiels dont nous parlous et dont 

 le nombre s'eleve a "'^"~ 0(" — 2). ..(« — /»+ i)^ .j ^^ ^^^ ■ ^^^ gQJent 



