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 pas zero, les polynomes ;? seront absolumeiit independants entre eiix; mais 

 si tous ces determinants partiels devenaient zero, il y aurait entre les p une 

 ou plusieurs relations lineaires. Cette proposition appartient egalement a 

 I'algebre eleraentaire, et Ton y demontre aussi que I'egalite a zero den — m+i 



determinants partiels, prissurlenombre total ^-^ — "i.2.3.'..ffl ^ ' 



entraine celle de tous les autresel, par suite, la dependance nuituelle ontre 

 les/7. 



.) Done, comme dans le cas m = n, dans celui de m < «, nous devons 

 conclureque si on reconnait, par quelques proprietes desp, que ces pol\- 

 nomes ne peuvent etre traites comme les variables independantes, tous les 

 n{n - i) {n^2^). . .{ji - m -hi) ^^^^^^^^^^^^ partiels qui s'y rapportent s'eva- 

 nouiront, et il y aura entre les p une relation lineaire, c'est-a-dire de la 



X, /?, H- Xa /72 + X3 /?., -h . . . + Kiprn = o 



» Nous disons une relation, car le cas de plusieurs relations est renferme 

 dans le precedent, les coefficients X pouvant n'etre pas completement de- 

 termines. 



» Au surplus, si les polyndmes p doivent, par leur nature, avoir une re a- 

 tion, celle-ci ne peut etre que lineaire, car il est facile de s'assurer que toute 

 autre en aurait etabli une entre les variables independantes x, consequenct 

 inadmissible. 



« Enan, il est visible que, dans le cas de m < «, il V aura toujours dcs 

 relations lineaires entre les polynomes p. 



" 5. Nous n'avons maintenant qu'a rapprocher les consequences de a- 

 nalyse algebrique tout a I'heure rappelees a la theorie generale du mouve- 

 ment. Les variables independantes x et les polynomes lineaires p sont, dans 

 cette theorie, les deplacements ^e et les variations ^Y, ^U, (J'U,, ^^U^..-- 

 Attribuons aux ^s. des valeurs qui rendent positifs ou zeros les polynome.^ 

 ^U, «^U„ ^U^,..., ces memes <?£, sans aucun nouvel assujettissement. (In- 

 vent faire acquerir au polynome c?V une valeur negative ou zero; ( ont 

 polynomes dont il s'agit ne peuvent etre consideres comme vanidjlcN uk < - 

 pendantes, t^Y dependra necessairement des cJ'U, cJ^U,, c^La,--; ^'>'^ ^ '"'' ' 

 casde I'independance, on pourrait donner a tous ces polynomes des \ a ears 

 quelconques, on pourrait les faire positifs tout a la fois, c'cst-a-dire poui 

 memes valeurs des c?£. Le polynome (^V dependant de (?t, c?Ij,, o'La,.-, 



