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ordre, varieront de c? / vdx et & j udx. Or, pour que linregrnle 



/ vdx lie varie pas quand les variables X eX y changent en x + oV « t 

 / + dy, il font que les increments ^x et ^ y satisfassent a la condiiioii 

 ^ j vdx = o; 



etdes que cette relation subsiste, sans aucune autre limitation de c?x el oy, 

 nous devons avoir 



S' j udx = o, 



;i cause du maximum. Ainsi, en n'astreignant les increments ^x et c? j qua 

 satisfaire a la condition 



^ j vdx = o , 

 Ih variation ^ j udx doit disparaitre en meme temps, et cela non a < aus« 

 (les valeurs particuliercs des &x et c? j, mais par la nature du polymnm li- 

 iieaire c? / udx; done ce polynome depend de ^ j vdx; ef, par suih . 



^ f' udx=W j' vdx, 



quels que soient les increments infiniment petits ^x et c?/. 



» Supposons encore qu'on demande les conditions d'integralite de la for- 

 mule differentielle 



Xdx+Ydj-^Zdz-^ ... 

 « un nombre quelconque des variables x, jr, z,..., en supposiuit <ntre li s 

 differentielles dx, dj, dz,..., une relation lineaire 



I^dx-h^Qdy-^^dz-^- ...^o. 

 l^esignons par d^ la valeur que prend la formule proposee quand cetle .e- 

 'ation est satisfaite ; il est evident que la difference 



-~d\-hXdx + Ydj + Zdz + ... 

 s'eranouira des qu'on aura astreint les qiiantites dx, djr, dz,..., a verifier 



