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 une fois, je ii'ai pas eii riiitetition de presenter aujourd'hiii a I'Academie un 

 travail complet; j'ai voulu seulement kii faire voir que j'avais en main des 

 elements serieux, que le temps pourrait faire fructifier, mais qui des aujour- 

 d'hui etant connus, permettent de verifier par I'experience les principaux 

 points de mon dernier travail » 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Note 5wr line propiieie commune aux series dont It 

 terme general depend des fonctions X„ de Legendre, ou des cosinus el sinus 

 des multiples de la variable; par M. Plarr. (Presentee par M. Berlrand.) 



(Commissaires, MM. Liouville, Lame, Bertrand.) 



« Soit J une fonction de oc quelconque soumise a la seule condition de 

 varier par degres infiniment petits lorsque x varie de la meme maniert- 

 depuis une certaine limite inferieure jusqu'a une autre limite superieure. 

 Supposons que, par un changement prealable de variable, on ait ramene 

 ces limites de x aux valeurs — i et +1. Proposons-nous de representor 

 approximativement les valeurs de J —fx par une fonction Y rationnelle 

 et entiere de^c de degre m. Prenons pour Y la formule d'interpolation de 

 Lagrange et raisonnons dans Thypothese que le choix des valeurs particu- 

 lieres x^, Xt.Xr,,..., x,n de la variable est tout a fait arbitraire. Pour deter- 

 miner ces valeurs jf^, :»:,,..., x^ de la maniere la plus avantageuse, on 

 pourra les soumettre a la condition que I'integrale 



(qui exprime la moyenne des carres des erreurs enlre les limites de la va- 

 riable) soit un minimum. La condition du minimum sera 



0= J^' {j -Y)dYdx. 

 » Mettons Y sous la forme 



ce qui est toujours possible, puisque Y est suppose fonction rationnelle et 

 entiere de x de degre w, les m -f- i coefficients A„ dependront d'une ma- 

 niere connue des rw -f- i arbitraires x^, .r,,..., x,„. Prenons ces coefficients 



