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 quantites negatives {voir I'article Courbes), et sa controverse avec Eiiler sur 

 les logarithmes des quantites negatives est assez connue. 



» Maintenant on pent faire remarquer que quand meme nous pourrions 

 conceder I'existence du paradoxe que d'Alembert suppose sur la courbe 



la solution qu'il donne n'est aucunement admissible. L'un des defauts du cal- 

 cul, dit-il, pent etre explique par la supposition que la branche CB [hj^] est 

 situee au dela de B, comme BD, par quoi, dit-il, il y aurait continuation de la 

 branche aB, comme s'il croyait qu'il n'y eut aucune continuation en BG. Mais 

 contre cette supposition s'elevent deux objections decisives. Premierement, le- 

 quation donne aux/ entre A et B des valeurs egales et opposees des deux cotes 

 du x\B, au point B,j = o, et au dela de B, comme par B^, portion de I'axe 

 qui repond a BD, f ne pent pas exister, ou que x = > a, et que ie radical 

 devient \J— \. Mais secondement, il n'y a pas possibilite qu'une courbe alge- 

 brique comme Test celle-ci s'arrete tout court, ce que, par cette supposi- 

 tion, elle devrait faire au point D, tandis que la difficulte qui principalement 

 fait recourir a I'hypothese, la discontinuation supposee de la branche aB 

 au point B n'est reellement, excepte que la courbe a un point de re- 

 broussement (ou une cuspide) au point B. Si le celebre geometre eut 

 examine la courbe entiere (*) au lieu de se borner a une de ses portions, 

 il aurait trouve quelle est uneligne «ECB, a quatre cuspides, et rentrante 

 en elle-meme; et il aurait certainement abandonne sa theorie et aussi sa 

 supposition au paradoxe et du defaut du calcul. Mais c'est certain aussi 

 qu'il aurait trouve d'autres paradoxes qvie Ton doit infiniment regretter 

 qu'il n'ait pas examines, et dont la solution ou I'explication parait assez 

 difficile, pour ne pas dire impossible, lis ont rapport avec les recherches 

 de dynamique plutot qu'avec Tanalyse pure, et nous nous proposons de 

 les considerer d'abord et de finir avec quelques autres matieres touchant la 

 courbe, independantes de celles renfermees dans la discussion de dyna- 

 mique. » 



( * ) Nul doute qu'il donne la figure de la courbe entiere dans la planche ; m 

 du tout que' des deux branches E«, «B, et sa notion que la courbe s'arrete t 

 avait la meme application a la branche Ea qui devait etre censee s'arreter 

 point a; et il ne propose pas que cette branche Ea soit continuee de 1 autre cot 

 Ainsi il parait certain qu'il n'avait pas forme les deux branches EC , BC , et il ; 

 figure fut tracee apres qu'il eut fini sa description. 



