PAR J. PLANA l55 



« Gjrant ergo planetae majores in ellipsibus habentibus umbilicuin in 

 » centro Solis; et radiis ad Solem ductis, describunt areas temporibus 

 » proportionales , omnino ut siipposilil Keplerus ». Ce mot suppOSllH dé- 

 clare assez que Newton n'accordait pas son adhésion à ses démonstrations. 

 Pour saisir clairemeiit en quoi consiste toute l'erreur commise par 

 la conception de Kepler , et redressée , à son insù , remarquons quii 

 croyait évaluer exactement la somme 1 r"^. dv des secteurs elliptiques dont 

 il est ici qiiestion , en posant 



r'=a — |3.cos.5; adsi=.add .Xl i — ^-sin.'S , 



1/ W 

 et supposant que la valeur de ^- 1/ i — ^ ? oiì 



Pz=i\ ads.{a — (3.C0S.S) , 



. o 



serait celle de 



j r' . rf e = a*. (9 — p . sin 9 ) . 1/ I — L_ mathématiquement. 

 Or, nous avons par le Calcul Integrai, en posant pour un moment 



X=- • sin.( 

 a 



a 



P=a\s — --X.\l^X 



e 



a C dX 



=J-f-4" 



s=i\afj.\i I — H- sm.^'S ; 



d'où l'on tire 



P=z a\ÌQ — ^-s\n.Q\—a\ | (/e. i — l/i — ^. sin.*9 j 



o 



\.Q — are. sin. = - • sin. B\) 



V « J 



a' ,3 



< -• sm. 



2 / a 



11/-!;- 



• — • sin. Q.\\l I — ^ • sin.^ Q — i 



En développant ces fonctions de l'anomalie excentrique 0, suivant les 

 puissances de - , on obtient ( en retenant les seuls premi ers termes ) : 



