PAR J. PLANA. 167 



en designant par <p l'angle oppose au coté j3 ; et l'on a (3.sin.fi=;'. sin. </( ; 

 d'où l'on tire : 



jS.sin. 9 e. sin. 5 



(5) tang. ip : 



y r'—^\sm."d I— e.cos. 



Maintenant, pour avoir l'are tf en fonction de 5 , il faut remplacer sin. 9 , 

 COS. 9 , tang. (|/ , par leurs expressions imaginaires , ce qui fournit l'équation 



'^•v-'=Log.(i-^y^) ■ 



1 designant , pour un moment , la base des Logarithmes Népériens. Cela 

 pose , par le développement de ce Logarithme , on obtient la serie 



(6) . . . ^=esm.9-i- ì .e' sin. 2^-4- | .e'sin. 3 5-t- J .e''sin.45-t-etc. 



De sorte que l'are v:^9-ì-'p sera exprimé par 



v=:6-i-e sin. 5 -f- ì . e^ sin. a.9-\-\.e^ sin. 3 5 H- etc. ; 

 r. cos.i|' = a(i — ecos.5) = a — ^.cos.Q ; 



r'.dv=x.dj — j.dx^d.d9 (i — e cos. 5) ; 



I r' . dv = a'.(9 — e. sin. 9) = ct 



En faisant 9=:'2n , et nommant T le temps d'une revolution entière , 

 l'on a cT^ana, et par conséquent 



(8) 2n--==int^9 — e. sin. 9 . 



Telle est l'équation qui doit nécessairement avoir lieu, dans le mouvement 

 circulaire libre, entre les deux variables 6 et t. En résolvant cette équation 

 par la serie de Lagrange , si Fon fait ntz=:z , l'on a : 



, , . .e' rf.sin.'z e' c?\sin.'z 



(9) e = z-*-e.sm.zH -j 1 ^ -j-^ H etc. 



2 dz 1. ò dz 



En exécutant les opérations indiquées jusqu'aux termes de l'ordre é in- 

 clusivement , cette serie donne : 



(io) . . . 9-=.nt-Jt~{e — -^ \.%va..nt-\-\e sin. :ì.nt-^\.é sin. 3 w^H-etc. 



La méme équation (8) donne : 



