324 ALCUNE PROPOSIZIONI SULLA SUPERFICIE CONOIDE ECC. 



Segue da ciò che le proiezioni sul piano BO J delle linee d'uguale 

 illuminazione del conoide sono ellissi, aventi il centro in O, e gli assi 

 diretti secondo le bissettrici degli angoli formati dalle rette OA, OB. 

 Le lunghezze degli assi di una qualunque di queste ellissi, di quella, 

 per esempio che passa pel punto m , si ottengono nel modo seguente. 



Condotte da in le mE, ra JP rispettivamente parallele ad OB qA OA, 

 si tiri la diagonale EF del parallelogramma OEmF. Si formino poi 

 sopra OA ed OB, o sopra OA ed il prolungamento di OB come lati, 

 due rombi , in ciascuno dei quali la diagonale che unisce i vertici adia^ 

 centi ad O sia lunga quanto EF^ le altre diagonali di questi rombi, 

 ossia le diagonali che partono dal loro vertice comune O, rappresentano 

 non solo in posizione ma anche in grandezza i semiassi della ellisse di 

 cui si tratta. 



Il rapporto dei semiassi ora trovati è uguale al quadrato della 

 cotangente della metà dell'angolo BOA: perciò le ellissi proiezioni sul 

 piano BOA delle differenti linee d'uguale illuminazione del conoide S, 

 oltre ad essere concentriche ed avere 1 loro assi rispettivamente coinci- 

 denti in direzione , sono tutte simili fra di loro. 



13. Le ellissi predette si riducono a circonferenze concentriche in O 

 quando i piani direttori del conoide sono ortogonali. Qualunque poi 

 sia l'angolo formato dai piani direttori del conoide, la costruzione d'una 

 qualunque delle ellissi sunnominate , di quella per esempio che passa 

 pel punto ni, è facilissima. 



Infatti se si tira da m una parallela ad OA, e si considera il punto m^ 

 di essa, il quale dista quanto m dalla retta OB, la distanza di m da O 

 è eguale ad E F . 



Facendo per ogni punto deUa proiezione della linea d'uguale illumi- 

 nazione che passa per m una costruzione analoga a quella che si è 

 fatta pel punto m , il luogo dei punti come m^ è l'ina circonferenza. 

 E quindi per costrurre la proiezione suddetta basta descrivere dal 

 centro O e con raggio uguale ad EF una circonferenza nel piano jBO^, 

 e condurre da ogni punto ?n ^ di questa circonferenza una parallela 

 ad OA terminata in un punto m tale che m ni sia divisa per metà 

 da OB: il luogo dei punti ni è l'ellisse a costruirsi. 



Sia q^ il punto della circonferenza sunnominata, nel quale la tan- 

 gente ad essa circonferenza è parallela ad O.^, la tangente alla ellisse 

 della quale parliamo nel punto q di essa che corrisponde & q ^ è pure 



