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» Eu réunissant ces deux énoncés, on parvient à ce théoreme plus 
général : 
» à étant une quantité commensurable quelconque, les i” puissances des 
racines lambdaïques dun déterminant de substitution sont identiques avec les 
racines lambdaïques de à" puissance du déterminant. 
» Si le déterminant est symétrique, on n'a pas besoin de le définir 
comme représentant une substitution, car, pour les déterminants symé- 
triques (qu'ils soient envisagés comme absolus ou comme substitutifs), les 
lois d'opération deviennent identiques. 
» Avec l’aide du théorème sur les racines lambdaïques, je parviens faci- 
lement à la résolution de ce beau problème : 
» Extraire la racine p*"*, ou plus généralement trouver la puissance gim 
d’une substitution donnée, i étant un nombre commensurable quelconque. 
» Voici la solution. Soit n l'ordre du déterminant de substitution 
donné. 
» Soient K un terme quelconque dans ce déterminant, Kę le terme qui 
occupe, dans la puissance 4% du déterminant, la même position que K 
dans le déterminant lui-même. De plus, soient K, = I quand K est un terme 
dans la diagonale, et K, = o dans tout autre cas. Alors je dis que, pour une 
valeur commensurable quelconque de i, positive ou négative, en nommant 
la somme des quantités À,, às; -- -> Ans Si, leur produit $,_, et en général 
la somme de leurs combinaisons binaires, ternaires, etc., S,, S;, on aura 
| RS ax sh, 
K. — n—1 ea... en Lam. MR PAR rte A 
| A 2 | (M — la) Qu — ha) eee (21 — àn) 1 
où d, has Às» -++ An Sont les racines lambdaïques du déterminant donné. 
» Si l’on fait į = z où yu est un nombre entier, on voit que le nombre 
des pimes racines est p” et consistera en p”—' groupes de p. matrices pour 
chaque groupe, ou pour le même groupe on passe d’une matrice à une 
autre, en multipliant chacun des z? éléments qu'il contient par la même 
racine p*% de l’unité. 
» Il peut arriver que les racines lambdaïiques du déterminant ne soient pas 
toutes inégales; alors la formule générale pour K; subira une modification 
qu on déduit facilement du théorème général, au moyen de l'introduction 
de différences infinitésimales entre les racines. 
» Il y a cependant un cas très particulier qu’on ne doit pas manquer de 
