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z = 0; et une différentiation par rapport à £ donne 
gp: —g—=0 (pour: =0o), 
vu que la vitesse d’abaissement — A, de la surface égale à fort peu près la 
composante verticale w = +, de la vitesse effective du fluide au même en” 
droit. Or, on démontre (') qu'en joignant à l'équation indéfinie A,9 = o cette 
condition spéciale go, — ọ, = 0 (pour z = o) et celle qui exprime la nul- 
lité de la composante normale de la vitesse (ou de la dérivée de ọ suivant 
le sens normal) contre les parois (fixes) du bassin, la fonction ọ sera dé- 
terminée, abstraction faite d’une constante insignifiante, si l’on connait, 
pour tous les points de la surface libre, les valeurs initiales de l’ordonnée 
— h et de la vitesse soit verticale, soit horizontale, c’est-à-dire les deux 
fonctions de x et de y qui expriment, pour z = o et £ = 0, 1° 9,, 2° g'ou 
bien ọ. 
» Mais admettons qu’il s'agisse seulement d’ondes produites dans une 
région restreinte, n’atteignant guère que les couches fluides'superficielles, 
où elles se disséminent, et transitoires (non renouvelées), comme sont celles 
que fait naître l’émersion brusque d’un solide d’abord plongé légèrement 
dans le liquide. Alors, u, v, w, h, p—pg z ou, en d’autres termes, les dérivées 
g', savoir (P, Qy» ®., P1 ), n'étant sensibles que pour des valeurs finies de é, et 
assez loin du fond et des bords, c’est-à-dire à des distances médiocres 
= yx? + y’ + z? de l’origine, l’évanouissement asymptotique des phéno- 
mènes dans l’espace s’exprimera en posant 9’ — o (pour t =  ), relation 
multiple qui implique celles relatives à des parois très. éloignées quel- 
conques, et qui dispensera par conséquent de s’en occuper. Faisons, pour 
abréger, tT = g9, — ?,, et nous aurons évidemment 
AT = o (vu A29 = o), ToO ( pour z an n o) et čto (pour Le co ). 
Or, ces conditions obligeront de poser t = o partout; car, si l’on multiplie 
Aat = 0 par 27 et par un élément dw de volume, puis qu’on intègre pour 
tonte l'étendue æ qu’entoure une demi-sphère de rayon + décrite dans le 
fluide autour de l’origine comme centre, une méthode connue donnera, en 
désignant par ç la surface convexe de la demi-sphère, et par c, son cercle. 
de base, 
[de dr no oar dr? 
(1) Tde=a f gda + af (Gtt T Ta ) do. 
PR CRT on 
(1) Voir l’Essai sur la théorie des eaux courantes, au Recueil des Savants étrangers, 
E XXHII, p. 327. 
