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» Donc, toutes les fois que, sur 6,,+ et +. n’ont pas signes contraires, 
comme ici où l’on y a tT =0 ou, encore, comme dans le cas où +, s’y annu- 
lerait, les intégrales EX isi = = 7 Je son positives, et la va- 
leur moyenne de +? sur l'aire convexe g de la demi-sphère ne peut aller en 
diminuant quand + grandit. Par suite, de r° = o (pour v infini), il résulte 
t= 0 partout. Il en serait de mème (sauf à ne considérer que des demi- 
cercles de rayon + dans le plan des zx au lieu de demi-sphères) si les ondes 
étaient cylindriques, ou produites dans un canal, et que ọ ne dépendit pas 
de la coordonnée en largeur y. Mais nous remplacerons la nouvelle équa- 
tion indéfinie t = o, afin d'y rendre possible l'élimination ultérieure de la 
dérivée en z, par celle-ci : 
2 2 
(2) g£+T=0o ou Ses, 
qui revient au même, si l’on s'impose la condition + = o (pour { = 0), et si 
l’on se souvient que 9’ et, par suite, s’annulent, tant pour {= x que 
pour z =œ . En effet, multiplions (2) par 2tdt, et intégrons depuis £ = o 
jusqu’à une valeur £ assez grande pour que le produit tt, soit devenu insen- 
sible. Il viendra, en intégrant le second terme par parties, 
es f edi=a f (Z) de 
t 
ce qui montre que l'intégrale Î r’ dt ne peut pas décroitre quand =z 
0 
grandit, et que, se trouvant nulle pour z infini, elle l’est identiquement : 
d’où +— o partout. Éliminons 9° de (2) au moyen de A,9 = o, et, de plus, 
remplaçons ź\g par ż, ou choisissons une unité de temps telle, que g —1. 
Si, en outre, posant ọ, = 0, nous nous bornons à l'étude d’ondes cylin- 
driques, les équations définitives du problème seront 
{ 
Éd PH O He; 
| P: — Ẹ, =o (pour ¿= 0), 9 —0 (pour «v ou ź infinis), 
avec les conditions d'état initial k =— ọ, = F(x) et ọ oug, = F, (x) pour z 
et £ nuls, F(x)et F, (x) désignant deux fonctions arbitraires qui, toutefois, 
s’annulent aux grandes distances + x. Dans le cas le plus simple, on sup- 
pose même les vitesses initiales nulles partout (c’est-à-dire ọ = o et ọ;, = 0 
pour ź = 0), et les ondes engendrées uniquement par les dénivellations 
