K 20 } 
GÉOMÉTRIE. — Sur la représentation sphérique des surfaces. 
Note de M. G. Darsoux. 
« Dans son beau Mémoire sur les surfaces à lignes de courbures planes 
et sphériques, M. O. Bonnet a mis en évidence pour la première fois todle 
l'importance de la représentation sphérique des surfaces, et il a montré que, 
si l'on établit une correspondance entre une surface quelconque et 
sphère par la condition que les plans tangents aux deux surfaces aux points 
correspondants soient parallèles, aux lignes de courbure de la surface cor 
respondront sur la sphère deux systèmes de lignes orthogonales, En ce qu 
concerne les surfaces à lignes de courbures planes, M. Bonnet a montre 
qu’à toute ligne plane doit correspondre, d’après le théorème de Joachin 
stahl, un cercle de la sphère, Par conséquent, la recherche des surfaces à 
lignes de courbures planes dans les deux systèmes équivaut à la détenue 
tion des surfaces dont les lignes de courbures ont pour image sphérique 
un double système de cercles orthogonaux. a De cg 
» En 1868 et 1869, dans deux Notes insérées aux tomes LXVII et LXVII i 
des Comptes rendus, je me suis proposé le problème général qui a | 
déterminer les surfaces ayant une représentation sphérique donti | 
montré que ce problème conduit à une équation linéaire aux dériv Fe 
tielles, ce qui permet de déduire de plusieurs solutions particulières A 
solution contenant des constantes arbitraires, J'ai donné en outre la a 
tion complète du problème suivant: 2 
» Trouver toutes les surfaces dont les lignes de courbures ont pour rar 
tation sphérique un système d’ellipses et d’hyperboles homofocales. + 
» Je me propose aujourd’hui de compléter ce résultat et de montrer q" 
l’on peut obtenir toutes les surfaces ayant pour représentation sphériq"” 
soit un système d'ellipses et d'hyperboles homofocales, soit le SF 
orthogonal que l’on dédoit du précédent par l'inversion la plus pem : 
Voici la méthode que j'ai suivie pour effectuer cette intégration: 
» Considérons un plan représenté par l'équation 
ER FIF pS o; s 
ns de deux variables p, p,. Ce ge Car et 
e. Les lignes p = C, p, = C, tracées 
où u, v, w, p sont des fonctio 
une surface non développab] 
