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surface, seront, comme on sait, conjuguées toutes les fois que l’on aura 
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do doi pdp, 
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O, 
ou, ce qui est la même chose, toutes les fois qu’il existera une équation 
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(1) dp dp, Et 0, 
ps à 
dont u, v, w, p seront des solutions particulières. 
» Réciproquement, supposons que l’on connaisse cinq solutions de cette 
équation x, », W, p, pı, les surfaces (2), (X°) enveloppes des plans 
ux + voy +w + p= o, 
ux + vy + wz+p=0 
jouiront de la propriété que, pour les points correspondants aux mèmes 
valeurs de p, p,, les plans tangents aux deux surfaces seront parallèles, et 
en outre que les lignes p = C, p; =C seront conjuguées sur les deux sur- 
faces. Si l’une de ces surfaces est une sphère (S), les lignes conjuguées de- 
viendront sur (S) des lignes orthogonales, et ce système de lignes ortho- 
gonales devient la représentation sphérique des lignes de courbure de 
l'autre surface. Nous sommes ainsi conduits, on le verra sans peine, au 
théorème suivant : : 
» Etant donnée une équation aux dérivées partielles de la forme (1), si l'on 
peut trouver quatre solutions de cette équation liées par la relation 
tas = ++ WP", 
les équations 
= P >. p p 
définiront un système de lignes sphériques orthogonales, et la surface la plus 
générale dont les lignes de courbure ont ce système pour image sphérique sera 
l'enveloppe du plan 
PPe P ux+vy+wz+P=0, 
où P est I "intégrale générale de l’équation (1). 
» On voit donc que, pour avoir des solutions complètes du problème de 
la représentation sphérique des surfaces, il suffit de connaître une équa- 
